Экономико-математические методы анализа хозяйственной деятельности организации

• Определим возможную среднюю прибыль от внедрения мероприятий, используя формулу:

Хa = ∑(Хк x Nk) :

∑Nk = Хa = ∑(Хк x (Nk :

∑Nk) = Хa = ∑Хкx Рк, k = 1,N,

где

Рк - частота появления к-го варианта (вероятность);

N - количество наблюдений;

Хса(А) = 0,35 x 400 + 0,4 x 500 + 0,25 x 550 = 477,5 (тыс. руб.).

Вероятная средняя прибыль в результате мероприятия "А" может составить 477,5 тыс. руб.:

Хса(В) = 0,33 x 510 + 0,25 x 450 + 0,42 x 480 = 467,1 (тыс. руб.).

Вероятная средняя прибыль в результате мероприятия "В" может составить 467,1 тыс. руб.

• Определим среднее квадратическое отклонение по формуле:

σ = Xgк = [∑(Хк² x Nk) : ∑Nk]^1/2, k = 1,N ;

Используем итоговые значения столбца "7":

σ(A) = (3618,76)^1/2 = 60,1561;

σ(B) = (750,32)^1/2 = 27,392.

• Определим коэффициент вариации по формуле:

Var = σ : Xcа;

Var(A) = σ : Xca(A) = 60,1561 : 477,5 = 0,12598.

Значение коэффициента вариации находится в пределах 0,1 ≤ Var ≤ 0,25, следовательно, колеблемость значений вокруг среднего - умеренная:

Var(B) = σ : Xca(B) = 27,392 : 467,1 = 0,0586.

Значение коэффициента вариации Var < 0,1, имеет место слабая колеблемость значений вокруг среднего.

Так как значение Var(B) < Var(A), то руководству организации надо отдать предпочтение мероприятию "В", возможность получения прибыли в этом случае выше.

Ряды динамики

Ряд динамики - ряд последовательно расположенных в хронологическом порядке показателей, которые характеризуют развитие явления. В ряде для каждого отрезка времени приводятся: показатели времени "Т" и соответствующие им значения показателя - уровни ряда "У". Значения показателей могут быть как абсолютные, так и относительные.

Для анализа динамики рядов используют следующие показатели.

Темп роста - отношение уровней ряда одного периода к другому. Они могут быть:

• базисные (все уровни ряда относятся к уровню одного и того же периода, принятого за базу, например, 1-й период):

Трбi = Yi : Yo.

Значение Трбi показывает, во сколько раз i-й уровень ряда отличается от базисного уровня;

• цепные (в этом случае рассматривается соотношение каждого последующего уровня ряда с предыдущим):

Трцi = Y_i : Y_{i - 1}.

Значение Трцi показывает, во сколько раз i-й уровень ряда отличается от (i - 1)-го уровня.

Значения могут быть выражены в виде процентов или относительных величин.

Показатели темпов роста характеризуют направление и интенсивность развития, поэтому они широко используются в экономическом анализе.

Абсолютный прирост - разность уровней ряда, выражается в единицах измерения ряда. Он может быть: базисным (рассматриваются разности между уровнями ряда и начальным уровнем) и цепным (рассматриваются разности между каждым последующим уровнем и предыдущим).

Базисный:

ΔY_i = Y_i - Y₀;

цепной:

ΔY_i = Y_i - Y_{i - 1},

где Δ - знак абсолютного прироста.

Темп прироста - относительная оценка изменения абсолютного прироста по сравнению с выбранной базой сравнения. Значение темпа прироста показывает, на сколько процентов изменилось значение показателя по сравнению с показателем базы сравнения.

Темп прироста базисный:

Тпр_i = ΔY_i : Y₀ x 100% = (Y_i - Y₀) : Y₀ x 100%.

Темп прироста цепной:

Тпр_i = ΔY_i : Y_{i - 1} x 100% = (Y_i - Y_{i - 1}) : Y_{i - 1} x 100%.

Показатель абсолютного значения 1% прироста - отношение абсолютного прироста к темпу прироста. Рассчитывается для цепных приростов и темпов прироста.

Средний темп роста - используется для обобщенной оценки интенсивности изменения показателя за длительный период. Для расчета используются относительные темпы роста.

Средний темп роста определяется как среднее геометрическое темпов роста динамического ряда (рассчитывается произведение темпов роста, а затем из произведения извлекается корень, степень которого равна числу темпов роста):

Трс = (Тр₁ x Тр₂ x Тр₃ x … x Тр_k)^{1 / K}.

Исследование рядов динамики дает возможность охарактеризовать процесс изменения показателя, выявить основные тенденции и темпы его изменения.

Пример 23. Дать оценку динамике товарооборота организации, используя данные табл. 2.7, расчеты динамики представлены там же.

Средний темп роста по данным табл. 2.3 равен:

Трс = (1,2 x 0,9 x 1 x 1,3 x 1,25)^1/5 = 1,13852.

Следовательно, среднегодовой темп роста товарооборота организации - 1,1385, среднегодовой темп прироста товарооборота будет 13,85%.

Для определения средних значений динамических рядов используются следующие показатели.

Средний уровень интервального ряда

Среднее значение ряда динамики, в котором уровни указываются последовательно с единичным интервалом, определяется по формуле:

Ус = ∑Yi : N,

где

Yi - значение показателя в i-й период времени;

N - количество временных периодов. Используется в тех случаях, когда уровни задаются в последовательном хронологическом порядке.

Пример 24. Используя данные табл. 2.7, определить среднегодовой товарооборот организации.

По данным табл. 2.7 значение среднегодового товарооборота равно:

Ус = ∑Yi : N = (100 + 120 + 90 + 100 + 130 + 125) : 6 = 665 : 6 = 110,833 (млн. руб.).

Среднегодовой товарооборот - 110,833 млн. руб.

Меняя единицу расчета (например, год на квартал, на месяц) можно определить среднеквартальный уровень товарооборота, среднемесячный уровень товарооборота:

среднеквартальный: Ускв = 665 : (6 x 4 ) = 27,708 (млн. руб.);

среднемесячный: Усм = 665 : (6 x 12) = 9,236 (млн. руб.).

Средняя хронологическая интервального ряда

Если уровни интервального ряда не указаны в последовательном хронологическом порядке, то для расчета среднего значения ряда используют среднюю хронологическую вида:

Ус = (У₁

x Т₁ + У₂

x Т₂ + У₃

x Т₃ + … + У_к

x Т_к) : (Т₁ + Т₂ + Т₃ + … + Т_к).

Пример 25. На основе отчетности организации, приведенной в табл. 2.8, определить средний объем производства организации за период 1996-2004 гг.

Решение:

Средний объем производства продукции составит:

Ус = (100x 1996 + 80x 1999 + 95

x 2000 + 110x 2001 + 140x 2004) :

:(1996 + 1999 + 2000 + 2001 + 2004) = (199 600 + 159 920 + 190 000 +

+220 110 + 280 560) : 10 000 = 1 050 190 : 10 000 = 105 (тыс. ед.).

Таким образом, средний годовой объем производства за период 1996-2004 гг. составил 105 тыс. ед. продукции.

Средний уровень моментного ряда динамики

Если значения изучаемого показателя даются на конкретные периоды времени (например, на первое число каждого месяца) и продолжительность периодов одна и та же (например, месяц), то для расчета среднего значения используют формулу:

Ус = (0,5x У₁ + У₂ + У₃ + … + 0,5

x У_к) : (К - 1),

где

У₁, У₂, …, У_к - уровни моментного ряда динамики;

К - количество уровней моментного ряда.

Данная формула имеет широкое применение при анализе динамики остатков сырья, материалов и т.п. Размеры остатков в течение каждого месяца меняются непрерывно, поэтому использовать в расчетах средний уровень интервального ряда нельзя.

Пример 26. На основе данных об остатках основных материалов на складе на начало каждого месяца, приведенных в табл. 2.9, определить средний остаток за квартал.

Решение:

ОСс = (0,5 x 120 + 170 + 90 + 0,5 x 80) : (4 - 1) = 360 : 3 = 120 (тыс. руб.).

Величина среднемесячного остатка в первом квартале составила 120 тыс. руб.

Для выявления основных тенденций рядов динамики с целью использования их при прогнозировании данного явления на будущее используют методы сглаживания рядов с помощью скользящей средней или методы аналитического выравнивания.

Рассмотрим методику выравнивания рядов с помощью скользящей средней. Она включает в себя следующие этапы:

• задается ряд динамики, число уровней N;
• выбирается интервал сглаживания (единичные периоды: два, три и т.д.).

Чем меньше продолжительность интервала, тем более сглаженный ряд приближается к конкретному ряду динамики. Интервал сглаживания - "К";

• определяются сглаженные значения по формуле:

Усг₁ = (У₁ + У₂ + У₃ + … + У_к) : К;

Усг₂ = (У₂ + У₃ + … + У_{к + 1}) : К;

Усг₃ = (У₃ + У₄ + … + У_{к + 2}) : К и т.д.

Получают ряд средних за все периоды "К".

Сглаженные значения наиболее точно отражают тенденции изменения изучаемого показателя. Данный метод целесообразно использовать при изучении сезонных колебаний.

Пример 27. Используя данные о продажах организации за 10 дней ( табл. 2.10), рассчитать сглаженные значения объема продаж по пятидневкам. (Расчеты указаны в 3-м столбце, начиная с 3-го числа.)