Экономико-математические методы анализа хозяйственной деятельности организации

Структурные средние

Структурные средние используются для оценки средней величины, если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен из-за недостаточности информации, например, отсутствуют данные об объемах производства или данные о затратах. Наиболее часто используют показатели:

• мода - наиболее часто повторяющееся значение признака;
• медиана - величина признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные части, у одной половины совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой - не меньше его.

Показатели вариации

Для оценки разброса значений вокруг среднего используются показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднеквадратическое отклонение, дисперсия и коэффициент вариации:

• размах вариации характеризует разность между максимальным (Хмах) и минимальным (Хmin) значениями:

R = Хmах - Хmin;

• среднее линейное отклонение:

Хсо = ∑|Хк - Хс| : N, k = 1,N;

Xсо = ∑(|Xk - Xc| x Wk) : ∑Wk,

где

Wk - частота, с которой в изучаемой совокупности встречается значение Xk,

Хс - среднее значение;

| | - знак абсолютной величины.

Среднеквадратическое отклонение

σ = [∑(Хк - Хс)² : N]^1/2, k = 1, N;

σ = [(∑(Xk - Xc)^1/2 x Wk) : ∑Wk]^1/2.

Данный показатель получил наибольшее распространение при изучении разброса значения числовых данных вокруг среднего. Чем больше значение у, тем сильнее разброс вокруг среднего.

• коэффициент вариации:

Var = σ : Xc.

Значение данного показателя используется для оценки однородности совокупных данных. Если значение Var ≤ 0,33, то совокупность считается однородной, и наоборот, если Var > 0,33, то совокупность является неоднородной.

Значение данного показателя используют также для сравнения колеблемости признаков, выраженных в разных единицах. Чем больше коэффициент, тем сильнее колеблемость. Принято считать, что если значение коэффициента вариации Var < 0,1, то имеет место слабая колеблемость, если 0,1 ≤ Var ≤ 0,25, - то умеренная колеблемость, если Var > 0,25 - высокая колеблемость.

Использование коэффициента вариации рассмотрим на следующих примерах.

Пример 20. Определить средний уровень производительности труда ОАО на основе данных о выручке и численности его структурных подразделений. Дать оценку изменчивости полученного результата. Исходные данные см. в табл. 2.4.

1. Определим размах вариации:

   R = Хmax - Хmin = 142,86 - 90 = 52,86.

2. Определим среднее значение производительности труда, используя формулу средней арифметической:

   Хс = (90 + 95,83 + 96 + 113,05 + 100 + 142,86 ) : 6 = 106,29 (тыс. руб./чел.).

   На каждого работника ОАО в среднем приходилось 106,29 тыс. руб. на человека.

3. Определим среднеквадратическое отклонение:

   σ = [∑(Хк - Хс)² : N]^1/2 = {[(90 - 106,29)² + (95,83 - 106,29)² + (96 - 106,29)² + (113,05 - 106,29)² + (100 - 106,29)² + (142,86 - 106,29)²] : 6}^1/2 = {[265,36 + 109,41 + 105,88 + 45,02 + 39,56 + 1337,36] : 6} ^1/2 = [1893,59 : 6]^1/2 = 315,61/2 = 17,77.

   Диапазон изменения средней величины: (Хс - σ; Хс + σ) равен (88,52; 124,06).

4. Определим коэффициент вариации:

   Var = σ : Xc = 17,765 : 106,29 = 0,16714 < 0,33.

Разброс величины производительности труда работников ОАО значителен - от 90 до 142,86 тыс. руб. Средняя величина производительности труда составила 106,29 тыс. руб. на человека. Значение коэффициента вариации меньше 0,33, следовательно, можно сделать вывод о том, что среднее значение производительности труда является однородным (типичным) для каждого производственного подразделения. Значение Var принадлежит диапазону (0, 10; 0,25), колебание значений вокруг среднего умеренное. Следовательно, представленные данные достаточно объективно характеризует среднюю производительность труда организации.

Пример 21. Определить средний уровень заработной платы ОАО на основе данных о фонде заработной платы (ФОТ) и численности его структурных подразделений. Дать оценку изменчивости полученного результата. Исходные данные см. в табл. 2.5.

1. Определим размах вариации:

   R = Хmах - Хmin = 52,17 - 30 = 22,17.

2. Определим среднее значение заработной платы работника ОАО, используя формулу средней арифметической:

   Хс = (30 + 33,33 + 40,8 + 52,17 + 50 + 50,71) : 6 = 42,84 (тыс. руб./чел.).

   Средняя заработная плата работника ОАО составляла 42,84 тыс. руб.

3. Определим среднеквадратическое отклонение:

   σ = [∑(Хк - Хс)² : N]^1/2 = {[(30 - 42,84)² + (33,33 - 42,84)² + (40,8 - 42,84)² + (52,17 - 42,84)² + (50 - 42,84)² + (50,71 - 42,84)²] : 6}^1/2 = {[164,87 + 90,44 + 4,16 + 87,05 + 51,27 + 61,94] : 6}^1/2 = [459,73 : 6]^1/2 = 76,621/2 = 8,75.

   Диапазон изменения средней величины: (Хс - σ; Хс + σ) равен (34,09; 51,59).

4. Определим коэффициент вариации:

   Var = σ : Xc = 8,75 : 42,84 = 0,2042 < 0,33.

Разброс величины заработной платы сотрудников значителен - от 30 до 52,17 тыс. руб.

Значение коэффициента вариации меньше 0,33, следовательно, можно сделать вывод о том, что среднее значение заработной платы работников ОАО является однородным для каждого производственного подразделения.

Пример 22. Руководство предприятия для повышения доходности рассматривает два мероприятия: А, В. По статистическим данным отрасли внедрение мероприятия "А" позволило из 100 случаев получить прибыль: в размере 400 тыс. руб. на 35 предприятиях, в размере 500 тыс. руб. на 40 предприятиях, и 550 тыс. руб. на 25 предприятиях. Соответственно, внедрение мероприятия "В" на 120 предприятиях отрасли позволило получить 40 предприятиям прибыль в размере 500 тыс. руб., 30 предприятиям - 450 тыс. руб., а остальным - 480 тыс. руб.

Определить наиболее эффективный вариант.

Решение:

Для оценки эффективности мероприятий составим расчетную табл. 2.6.