Экономико-математические методы анализа хозяйственной деятельности организации

Учет дисконтирования по сложной ставке, ее значение для стоимости капитала организации

Дисконтирование по сложной ставке процентов, так же, как и по простой ставке, позволяет определить значение первоначальной ссуды по заданному значению размера ссуды, подлежащей погашению Дк, и заданному значению ставки процентов.

Дн = Дк : (1 + α)^К; Дн = Дк : (1 + α : М)^{К x М},

где

Дн - величина первоначальной ссуды;

Дк - величина ссуды к погашению,

α - годовая процентная ставка;

М - количество начислений в год.

Величину Дн, полученную дисконтированием величины Дк, принято называть современной, или приведенной величиной Дк. Она показывает, что ссуда в сумме Дк через К лет равноценна сумме Дн, выплачиваемой в настоящий момент. Разность между Дк и Дн называют дисконтом:

Д = Дк - Дн.

Данная формула широко используется при определении стоимости будущего капитала организации в настоящий момент времени.

Например, с помощью этих формул осуществляют оценку стоимости будущих доходов в настоящий момент времени, если ставка a остается постоянной для каждого временного периода.

Если ставка α в каждый временной период может изменяться, то дисконтированная стоимость денежного потока t-го периода рассчитывается по формуле:

СДП_t = ДП_t : [(1 + α₁) x (1 + α₂) x (1 + α₃) x … x (1 +α_t)],

где

α₁ - ставка в первый временной период;

α₂ - ставка во второй временной период;

α_t - ставка в t-й период.

Сумма дисконтированных денежных потоков за каждый временной период будет определять тот доход, который организация планирует получить в результате вложения первоначального капитала.

Разность между дисконтированным общим доходом и первоначальным вкладом будем называть чистым дисконтированным приведенным доходом:

ЧПД = СДП - ПВК.

Пример 59. Специалисты организации, составляя прогнозный годовой план доходов, определили, что для нормального функционирования производства необходим краткосрочный кредит в размере 1000 тыс. руб., включая плату за кредитные ресурсы. Это позволит организации по окончании каждого квартала иметь чистую прибыль в размере 500 тыс. руб. Определить реальную чистую прибыль организации, если:

Ежеквартально ставка дисконтирования составляет 15%.

Каждый квартал, начиная со второго, ставка дисконта увеличивается соответственно на 3, 5 и 7%.

Решение:

• Ответ на первый вопрос.

Ежеквартально ставка дисконтирования составляет 15%;

Используя формулу дисконтирования, определим стоимость чистой прибыли каждого квартала в будущем на момент составления плана:

Д₁ = Д₂ = Д₃ = Д₄ = 500 тыс. руб.;

НД₁ = 500 : (1 + 0,15)¹ = 434,78 (тыс. руб.).

Размер дисконта: Д₁ = 500 - 434,78 = 65,22 (тыс. руб.);

НД₂ = 500 : (1 + 0,15)² = 378,07 (тыс. руб.);

НД₃ = 500 : (1 + 0,15)³ = 328,76 (тыс. руб.);

НД₄ = 500 : (1 + 0,15)⁴ = 285,88 (тыс. руб.).

Общий дисконтированный доход составит:

ОНД = 434,78 + 378,07 + 328,76 + 285,88 = 1427,49 (тыс. руб.).

Чистый приведенный дисконтированный доход составит:

ЧПДП = ОНД - ПВК = 1427,49 - 1000 = 427,49 (тыс. руб.).

Таким образом, чистая прибыль организации, с учетом стоимости будущих доходов на момент составления плана о прибылях и убытках, составит 427,49 тыс. руб. (Если не учитывать фактор времени, то размер прибыли составит 1000 тыс. руб. (4 x 500 - 1000).)

Ответ на второй вопрос задачи.

Каждый квартал, начиная со второго, ставка дисконта увеличивается соответственно на 3, 5 и 7%:

Д₁ = Д₂ = Д₃ = Д₄ = 500 тыс. руб.;

НД₁ = 500 : (1 + 0,15)¹ = 434,78 (тыс. руб.);

НД₂ = 500 : [(1 + 0,15) x (1 + 0,18)] = 368,46 (тыс. руб.);

НД₃ = 500 : [(1 + 0,15) x (1 + 0,18) x (1 + 0,20)] = 307,05 (тыс. руб.);

НД₄ = 500 : [(1 + 0,15) x (1 + 0,18) x (1 + 0,20) x (1 + 0,22)] = 251,68 (тыс. руб.).

Общий дисконтированный доход:

ОНД = 434,78 + 368,46 + 307,05 + 251,68 = 1361,97 (тыс. руб.).

Чистый приведенный дисконтированный доход составит:

ЧПД = 1361,97 - 1000 = 361,97 (тыс. руб.).

Пример 60. За какой срок вклад в 50 тыс. руб. увеличится до 298 тыс. руб. при ставке 50% годовых, если начисления осуществляются каждое полугодие?

Решение:

Используем формулу сложных процентов:

Дк = Дн x (1 + α : М)^{К x М};

298 = 50 x (1 + 0,50 : 2)^{2 x К};

298 : 50 = (1, 25)^{2 x К};

5,96 = (1, 25)^{2 x К};

Решаем уравнение относительно переменной К:

если К = 1, то 1,25^{2 x 1} = 1,5625;

если К = 2, то 1,25^{2 x 2} = 2,4414;

если К = 3, то 1,25^{2 x 3} = 3,8147;

если К = 4, то 1,25^{2 x 4} = 5,96.

Условие выполнимо при К = 4.

Таким образом, вклад в 50 тыс. руб. увеличится до 298 тыс. руб. через четыре года.

Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:

Дн = Дк x (1 - Дc)^N,

где

Дc - сложная годовая учетная ставка;

N - количество лет.

Дисконт в этом случае определяется по формуле:

Дd = Дк x [1 - (1 - Дc)^N].

Процесс дисконтирования происходит с замедлением, так как на каждом шаге во времени учетная ставка применяется не к первоначальной сумме, а к сумме, уменьшенной на величину дисконта, определенного на предыдущем шаге. Дисконтирование по сложной учетной ставке приводит к результатам, которые выгоднее для должника, чем при дисконтировании по простой учетной ставке.

Для оценки денежных потоков организации, наряду с дисконтированием, используются также стандартные функции сложного процента: будущая стоимость аннуитета (FVA); текущая стоимость аннуитета (PVA); периодический взнос в погашение кредита (РМТ), периодический взнос на накопление фонда (РМТФ). Каждая из функций характеризует процесс изменения денежных средств, пока они остаются на депозитном счете. Начисленный процент не снимается с депозитного счета, а капитализируется. Общая характеристика стандартных функций сложного процента представлена в табл. 2.19.

Функция "текущая стоимость аннуитета" PVA.

Аннуитет - это серия равновеликих периодических платежей (единовременный денежный вклад в данный период) PMT. Он может быть:

• исходящим денежным потоком - совокупность периодических равных платежей, выплачиваемых инвестором (например, он осуществляет периодические равные платежи банку за предоставленный кредит);
• входящим денежным потоком - совокупность периодических равных платежей, получаемых инвестором (например, поступление арендной платы, которая обычно устанавливается одинаковой фиксированной суммой).

Аннуитет бывает обычный и авансовый.

• Обычный аннуитет определяется как серия равновеликих платежей, первый из которых осуществляется через один период, начиная с настоящего момента, т.е. платежи осуществляются в конце периода.

Текущая стоимость аннуитета может быть рассчитана на основе данных: размер периодического платежа РМТ, процентная ставка (ставка дисконтирования d), n - число периодов выплат. Каждый будущий платеж можно оценить через текущую стоимость единицы денежных средств:

а_n = 1 : (1 + R)ⁿ.

Выражение а_n называют фактором текущей стоимости единицы денежных средств, значение показывает текущую стоимость денежной единицы, полученной в будущем, в момент оценки.

Пример 60. Инвестору для бесперебойного финансирования основной деятельности необходимо в будущем в течение 5 лет снимать в конце каждого года со счета по 1000 тыс. руб. Определить размер депозитного вклада сегодня, если процентная ставка - 10%.

Решение:

Текущая стоимость единицы денежных средств и платежа в конце каждого года при ставке 10% годовых:

1 год: а₁ = 1 : (1 + R)¹ = 1 : (1 + 0,1)¹ = 0,9091, CM₁ = 1000 x 0,9091 = 909,1 (тыс. руб.).

Таким образом, чтобы через год снять со счета 1000 руб. необходимо при открытии депозитного вклада положить 900,1 тыс. руб. Аналогично рассчитываются значения текущей стоимости единицы денежных средств и суммы первоначального вклада для каждого последующего года.

2 год: а₂ = 1 : (1 + R)² = 1 : (1 + 0,1)² = 0,8264, CM₂ = 1000 x 0,8264 = 826,4 (тыс. руб.),

3 год: а₃ = 1 : (1 + R)³ = 1 : (1 + 0,1)³ = 0,7513, CM₃ = 1000 x 0,7513 = 751,3 (тыс. руб.),

4 год: а₄ =1 : (1 + R)⁴ = 1 : (1 + 0,1)⁴ = 0,683, CM₄ = 1000 x 0,683 = 683 (тыс. руб.),

5 год: а₅ =1 : (1 + R)⁵ = 1 : (1 + 0,1)⁵ = 0,6209, CM₅ = 1000 x 0,6209 = 620,9 (тыс. руб.).

Суммарное значение текущей стоимости депозитного вклада составит:

СМ = 909,1 + 826,4 + 751,3 + 683 + 620,9 = 3790,7 (тыс. руб.).

Таким образом, если сегодня положить на депозит 3790,7 тыс. руб. сроком на 5 лет под 10% годовых, то это позволит ежегодно в конце каждого года снимать со счета по 1000 тыс. руб. Общая сумма платежей банка составит 5000 тыс. руб. (5 x 1000). Разница между первоначальным вкладом 3790,7 тыс. руб. и накопленной суммой 5000 тыс. руб. в размере 1209,3 тыс. руб. представляет собой сумму начисленных процентов. После выплат на депозите будет нулевой остаток.

Покажем правильность расчетов, используя метод "депозитной книжки", который предполагает начисление процентов на сумму остатка на конец года табл. 2.20 .

Для определения текущей стоимости обычного аннуитета используют формулу:

PVA = PMT x {[1 - 1 : (1 + R)ⁿ] : R}.

Выражение в фигурных скобках называют множителем Инвуда или фактором обычного аннуитета:

А_п = {[1 - 1 : (1 + R)ⁿ] : R}.

Значение А_п показывает текущую стоимость единицы денежных средств, которая будет получена в будущем, при равномерном поступлении ее в конце каждого года единичного периода.

Рассмотрим зависимость значения А_п в зависимости от изменения величин R, T:

1. R = 15%; T = 4 года; A_п1 = [1 - 1 : (1 + 0,15)⁴] : 0,15 = 2,855.

   Текущая стоимость единицы денежных средств (ДС), при начислениях по ставке 15% годовых, после 4-го года при равномерном поступлении ее на счет в будущем в конце каждого года, будет соответствовать 2,855 единицы ДС;

2. R = 25%; T = 4 года; A_п2 = [1 - 1 : (1 + 0,25)⁴] : 0,25 = [1 - 0,41] : 0,25 = 2,3616.

   При увеличении R, но при том же количестве периодов поступлений, происходит уменьшение текущей стоимости денежной единицы обычного аннуитета.

3. = 15 %; T = 5 лет; A_п3 = [1 - 1 : (1 + 0,15)⁵] : 0,15 = 3,3522.

   Текущая стоимость единицы денежных средств, при начислениях по ставке 15% годовых, в конце 5-го года при равномерном поступлении ее на счет в будущем в конце каждого года будет соответствовать 3,3522 единицы ДС.