Экономико-математические методы анализа хозяйственной деятельности организации

При увеличении периода начислений Т, но при сохранении процентной ставки, происходит увеличение текущей стоимости единицы обычного аннуитета.

• Авансовый аннуитет - поступление потоков платежей в начале каждого периода.

Первый платеж происходит одновременно с начальным поступлением денежных средств, поэтому его называют "авансовым аннуитетом" или "причитающимся аннуитетом". Первый платеж не дисконтируется, а все последующие платежи дисконтируются по фактору обычного аннуитета, а последующие поступления дисконтируются в обычном порядке. Формула расчета авансового аннуитета имеет вид:

PVAа = PMT x {[1 - (1 + R)^{-(n - 1)}] : R + 1}.

Выражение в фигурных скобках характеризует фактор текущей стоимости авансового аннуитета:

Аа_п = {[1 - (1 + R)^{-(n - 1)}] : R + 1}.

Значение Аа_п показывает текущую стоимость единицы денежных средств при равномерном поступлении ее в начале каждого единичного периода, входящего в период Т.

Примеры расчета фактора текущей стоимости авансового аннуитета приведены ниже:

1. R = 15%; T = 4 года; Aa_п1 = [1 - (1 + 0,15)^{-(4 - 1)}] : 0,15 + 1 = 3,28.

   Текущая стоимость единицы денежных средств в конце 4-го года при равномерном поступлении в будущем единицы ДС в начале каждого года при ставке 15% годовых будет соответствовать 3,28%;

2. R = 25%; T = 4 года; Aa_п2 = [1 - (1 + 0,25)^{-(4 - 1)}] : 0,25 + 1 = 2,95.

   При увеличении процентной ставки R, но при том же периоде поступлений, происходит уменьшение текущей стоимости денежной единицы авансового аннуитета;

3. R= 15%; T = 5 лет; Aa_п3 = [1 - (1 + 0,15)^{-(5 - 1)}] : 0,15 + 1 = 3,85.

   При увеличении Т, но при сохранении процентной ставки, происходит увеличение текущей стоимости единицы авансового аннуитета.

Фактор текущей стоимости авансового аннуитета может быть определен как сумма фактора обычного аннуитета для предыдущего периода (А_{п - 1}) и единицы:

Аа_п = А_{п - 1} + 1.

Например. Фактор текущей стоимости авансового аннуитета, возникающего 5 раз при годовой ставке 15%, можно определить:

1. Аа_п = {[1 - (1 + R)^{-(n - 1})] : R + 1} = {[1 - (1 + 0,15)^{-(5 - 1)}] : 0,15 + 1} = 3,85;
2. вычисляем фактор текущей стоимости аннуитета для предпоследнего периода (5 - 1):

А_п = {[1 - 1 : (1 + R)ⁿ] : R}; А₄ = {[1 - 1 : (1 + 0,15)⁴] : 0,15} = 2,85.

К полученному результату прибавляем 1:

А_п + 1 = А₄ + 1 = 2,85 +1 = 3,85.

Результаты расчетов одинаковые.

Использование функции "текущая стоимость аннуитета" PVA на практике позволяет принимать обоснованные управленческие решения при оценке стоимости активов организации.

Пример 61. Владелец предприятия, специализирующегося на оказании услуг населению, предполагает в течение 5 лет получать ежегодный доход в размере 2000 тыс. руб., а затем в конце 5 года продать предприятие за 3500 тыс. руб., расходы по ликвидации предприятия составят 12% от продажной цены. Определить доход от деятельности и продажи, учитывая ставку дисконта по деятельности - 14%, а от продажи предприятия - 23%.

Решение:

• Определим значение фактора обычного аннуитета:

А_п = {[1 - 1 : (1 + R)ⁿ] : R}; А₅ = [1 - 1 : (1 + 0,14)⁵] : 0,14 = 3,4331.

• Определим текущую стоимость потока доходов от деятельности по формуле текущей стоимости обычного аннуитета:

PVA = PMT x А_п = 2000 x 3,4331 = 6866,2 (тыс. руб.).

• Определим текущую стоимость от продажи предприятия в конце 5-го года деятельности, учитывая дисконт - 23%, а также расходы на ликвидацию в размере 12%, используя формулу дисконтирования:

PV = S x (1 - Рл) x [1 : (1 + d)ⁿ],

где

PV - текущая стоимость предприятия;

S - продажная цена предприятия;

Рл - доля расходов на продажу предприятия;

d - ставка дисконтирования при продаже предприятия;

n - число периодов начисления процентов.

PV = 3500 x (1 - 0,12) x [1 : (1 + 0,23)⁵] = 3500 x 0,88 x 0,36 = 1108,8 (тыс. руб.).

• Определим текущую сумму доходов владельца предприятия:

Д = PVA + PV = 6866,2 + 1108,8 = 7975 (тыс. руб.)

Таким образом, владелец предприятия получит доход от деятельности и последующей продажи предприятия в размере 7975 тыс. руб.

Пример 62. Фирма сдает свободные площади в аренду. Определить текущую стоимость совокупного дохода от сдачи в аренду площадей в течение 4 лет, если сдача в аренду торговых помещений может принести ежегодный доход в размере 6700 тыс. руб., сдача в аренду складских помещений позволяет ежегодно получать 2300 тыс. руб. Ставка дисконта по каждому виду соответственно 21 и 17%.

Решение:

• Определим значение фактора обычного аннуитета:

Ап = {[1 - 1 : (1 + R)ⁿ] : R}.

Значение фактора обычного аннуитета для аренды торговых площадей:

А₄(т.пл) = [1 - 1 : (1 + 0,21)⁴] : 0,21 = 2,5404.

Значение фактора обычного аннуитета для аренды складских площадей:

А₄(ск.пл) = [1 - 1 : (1 + 0,17)⁴] : 0,17 = 2,7432.

• Определим значение текущей стоимости дохода от аренды торговых площадей (округление до целых):

PVA(т.пл) = 6700 x 2,5404 = 17021 (тыс. руб.);

PVA(ск.пл) = 2300 x 2,7432 = 6309 (тыс. руб.).

• Текущая стоимость совокупного дохода:

PVA = 17021 + 6309 = 23330 (тыс. руб.).

Совокупный текущий доход фирмы от сдачи в аренду помещений в течение 4 лет составит 23 330 тыс. руб.

Пример 63. Определить текущую стоимость совокупного дохода от сдачи помещения в аренду, если по прогнозу предполагается, что в течение первых 2 лет ежегодный доход составит 2000 тыс. руб., в следующие 3 года ежегодный доход может увеличиваться на 200 тыс. руб. в год. Ставка дисконта - 13%.

Решение:

В данной ситуации ежегодные выплаты различные.

• Определим текущую стоимость потока платежей за первые 2 года.

Определим значение фактора обычного аннуитета:

А_п = {[1 - 1 : (1 + R)ⁿ] : R},

А₂ = [1 - 1 : (1 + 0,13)²] : 0,13 = 1,6681.

Значение текущей стоимости дохода от аренды за первые два года (округление до целых):

PVA₂ = 2000 x 1,6681 = 3336 (тыс. руб.).

• Определим текущую стоимость потока платежей за последующие 3 года.

Значение фактора обычного аннуитета за эти годы как разность между факторами, соответствующими значению фактора в расчете за 5 лет (2 + 3) и за 2 года:

ΔА = А₅ - А₂ = {[1 - 1 : (1 + 0,13)⁵] : 0,13} - {[1 - 1 : (1 + 0,13)²] : 0,13} = 3,5172 - 1,6681 = 1,8491.

Текущая стоимость аренды с конца второго года по конец 5 года аренды будет равна:

PVA_{5 - 2} = 2200 x 1,8491 = 4068 (тыс. руб.).

• Суммарная текущая стоимость арендной платы за 5 лет составит:

PVA₅ = 3336 + 4068 = 7404 (тыс. руб.).

Пример 64. Определить текущую стоимость совокупного дохода от сдачи помещения в аренду, если в течение первых 3 лет ежегодный доход может составить 4500 тыс. руб., ставка дисконта - 15 %. В следующие 5 лет ежегодный доход от сдачи помещения в аренду из-за физического износа может уменьшиться на 15 %, а ежегодная ставка дисконта увеличится на 2%.

Решение:

• Определим текущую стоимость потока платежей за первые 3 года, учитывая, что ставка дисконтирования 15%.

Значение фактора обычного аннуитета:

А₃ = [1 - 1 : (1 + 0,15)³] : 0,15 = 2,2832.

Значение текущей стоимости дохода от аренды за первые три года (округление до целых):

PVA₃ = 4500 x 2,2832 = 10 274 (тыс. руб.).

Таким образом, текущая стоимость совокупного дохода, полученного в будущем, от сдачи помещения в аренду за первые 3 года, при ставке дисконтирования 15%, составит 10 274 тыс. руб. (без учета фактора времени - 13 500 тыс. руб. (4500 x 3)).

• Определим значение фактора текущей стоимости потока платежей в следующие 5 лет, учитывая, что ставка дисконтирования 17%.

ΔА = А₈ - А₃ = {[1 - 1 : (1 + 0,17)⁸] : 0,17} - {[1 - 1 : (1 + 0,17)³] : 0,17} = 4,2072 - 2,2096 = 1,9976.

Текущая стоимость аренды с конца третьего года по конец 8 года аренды будет равна:

PVA_{8 - 3} = 4500 x (1 - 0,15) x 1,9976 = 7641 (тыс. руб.).

• Суммарная текущая стоимость арендной платы за 8 лет, которая будет получена в будущем, составит:

PVA = 10 274 + 7641 = 17 915 (тыс. руб.).

Размер совокупного дохода от сдачи помещения в аренду с учетом фактора времени составит 17 915 тыс. руб., без учета фактора времени - 32 625 тыс. руб. (13 500 + 5 x 4500 x 0,85).

Функция "Будущая стоимость аннуитета" FVA.

С помощью функции FVA определяют величину накопленных равновеликих взносов при заданной ставке дохода. Если взносы осуществляются в конце периода, то используется формула:

FVA = PMT x {[(1 + R)ⁿ - 1] : R},

где

FVA - будущая стоимость накопленных денежных средств,

PMT - периодический взнос;

R - периодическая ставка процента;

n - число периодов начисления (лет).

Выражение в фигурных скобках представляет собой фактор "будущей стоимости обычного аннуитета":

А_бт = [(1 + R)ⁿ - 1] : R.

Значение А_бт показывает, какой по истечению всего срока будет стоимость денежной единицы периодических равных взносов, депонированных в конце каждого периода:

• R = 15%; T = 4 года; A_бт1 = [(1 + 0,15)⁴ - 1] : 0,15 = 4,99.

Стоимость единицы денежных средств, депонированной в конце каждого года, в течение 4 лет при годовой ставке 15% будет равна 4,99 единиц ДС;

• R = 25%; T = 4 года; A_бт2 = [(1 + 0,25)⁴ - 1] : 0,25 = 5,77;

• R = 15%; T = 5 лет; A_бт3 = [(1 + 0,15)⁵ - 1] : 0,15 = 6,74.

При увеличении R и начислений Т, но при том же периоде поступлений, происходит увеличение накопления будущей стоимости денежной единицы обычного аннуитета.

Пример 65. Определить размер денежных средств, накопленных на счете в течение 3 лет, если ежегодно вносить 280 тыс. руб., а банк начисляет на вклад 9% годовых.

Решение:

• Определим значение фактора "будущей стоимости обычного аннуитета" за 3 периода при ставке 9% годовых:

А_бт = [(1 + R)ⁿ - 1] : R = [(1 + 0,09)³ - 1] : 0,09 = 3,2781.

• Определим величину накопленных на счете денежных средств к концу 3 года:

FVA = PMT x {[(1 + R)ⁿ - 1] : R} = 280 x 3,2781 = 918 (тыс. руб.)

Таким образом, если ежегодно на счет перечислять 280 тыс. руб., то сумма накоплений за 3 года составит 918 тыс. руб. Разница между суммой накоплений и возрастающей суммой вклада - 840 тыс. руб. (280 x 3) в размере 78 тыс. руб. представляет собой величину процентов, начисленных на возрастающую сумму.

Если взносы (платежи) осуществляются в начале периода, то используют формулу:

FVAа = PMT x {[(1 + R)^{n + 1} - 1] : R}.

Выражение в фигурных скобках представляет собой фактор "будущей стоимости авансового аннуитета":

А_ба = [(1 + R)^{n + 1} - 1] : R.

Значение А_ба показывает, какой по истечению всего срока будет стоимость денежной единицы периодических равных взносов, депонированных в начале каждого единичного периода:

• R = 15%; T = 4 года; A_ба1 = [(1 + 0,15)^{4 + 1} - 1] : 0,15 = 6,74.

Стоимость единицы денежных средств, депонированной в начале каждого года, в течение 4 лет при годовой ставке 15% будет равна 6,74 единиц ДС;

• R = 25%; T = 4 года; A_ба2 = [(1 + 0,25)^{4 + 1} - 1] : 0,25 = 8,21;

• R = 15%; T = 5 лет; A_ба3 = [(1 + 0,15)^{5 + 1} - 1] : 0,15 = 8,75.

При увеличении R и начислений Т, но при том же периоде поступлений, происходит увеличение накопления будущей стоимости денежной единицы авансового аннуитета.

Пример 66. Предприятие сдало в аренду оборудование сроком на 15 месяцев. Ежемесячные арендные платежи должны по договору поступать в начале каждого месяца в размере 180 тыс. руб. Какова будущая стоимость платежей к концу 15-го месяца, если ставка дисконтирования - 14% годовых?

Решение:

• Определим ставку дисконтирования в месяц:

Rm = 14% : 12 = 1,17%.

• Определим значение фактора "будущей стоимости авансового аннуитета":

А_ба = [(1 + Rm)^{n + 1} - 1] : Rm = [(1 + 0,0117)¹⁵ - 1] : 0,0117 = 16,29302854.

• Определим стоимость аренды за 15 месяцев:

FVA_а = PMT x {[(1 + Rm)^{n + 1} - 1] : Rm} = 180 x 16,293 = 2933 (тыс. руб.).

Без учета ставки дисконтирования суммарные арендные платежи составят 2700 тыс. руб. (15 x 180), с учетом ставки дисконтирования - 2933 тыс. руб. Разность между ними в размере 233 тыс. руб. представляет величину процентов, начисленных на возрастающую сумму платежей.

Функция "периодический взнос на погашение кредита" (РМТ).

С помощью данной функции определяется величина самого аннуитета, если известны текущая стоимость, число взносов и ставка дисконтирования. Эта функция является обратной текущей стоимостью обычного аннуитета.

Из формулы PVA = PMT x А_п = РМТ x {[1 - 1 : (1 + R)ⁿ] : R} следует, что:

РМТ = PVA : А_п = PVA : [1 - 1 : (1 + R)ⁿ] : R} = PVA x {1 : [1 - 1 : (1 + R)ⁿ] : R}.

Величина, обратная фактору обычного аннуитета, представляет собой фактор взноса на погашение кредита:

А_кр = 1 : А_п = 1 : [1 - 1 : (1 + R)ⁿ] : R, или

А_кр = R : [1 - 1 : (1 + R)ⁿ]

Значение А_кр показывает равновеликий периодический платеж единицы ДС, необходимый для погашения единицы кредита ДС:

1. R = 15%; T = 4 года; A_кр1 = 0,15 : [1 - 1 : (1 + 0,15)⁴] = 0,35.

   Если сегодня положить единицу денежных средств сроком на 4 года под 15% годовых, то в конце каждого года можно снимать 0,35 единицы ДС;

2. R = 25%; T = 4 года; A_кр2 = 0,25 : [1 - 1 : (1 + 0,25)⁴] = 0,42.

   Если сегодня положить единицу денежных средств, сроком на 4 года под 25% годовых, то в конце каждого года можно снимать 0,42 единицы ДС.

   Увеличение годовой процентной ставки, при том же периоде, приводит к увеличению суммы, снимаемой в конце каждого года;

3. R = 15%; T = 5 лет; A_бт3 = 0,15 : [1 - (1 + 0,15)⁵] = 0,30.

Если сегодня положить единицу денежных средств, сроком на 5 лет под 15% годовых, то в конце каждого года можно снимать лишь 0,30 единицы ДС.

Увеличение периода кредитования, при той же годовой процентной ставке, приводит к уменьшению суммы, снимаемой в конце каждого года.

Пример 67. Организации предоставлен кредит в размере 9000 тыс. руб. сроком на 5 лет под 16% годовых. Какие должны быть ежегодные равновеликие выплаты по погашению кредита?

Решение:

• Рассчитаем величину обычного аннуитета, учитывая, что срок кредита 5 лет, а годовая ставка дисконтирования 16%:

А_п = [1 - 1 : (1 + R)ⁿ] : R = [1 - 1 : 1,16⁵] : 0,16 = 3,2743.

Фактор взноса на погашение кредита:

А_кр = 1 : А_п = 1 : 3,2743 = 0,3054.

• Определим ежегодные выплаты, если размер их должен быть один и тот же: