Экономико-математические методы анализа хозяйственной деятельности организации

1. Если периоды начисления и ставки простых процентов для каждого периода одинаковые, то используется формула:

   Дк = Дн x (1 + Т x α)^N,

   где N - общее число операций реинвестирования.

2. Если периоды начисления по продолжительности различны и каждому соответствует определенная простая ставка, то используется формула:

   Дк = Дн x (1 + Т₁ x α₁) x (1 + Т₂

   x α₂)x (1 + Т₃

   x α₃)x …. x (1 + Т_к

   x α_к).

Пример 47. По кредитному соглашению банк на сумму 100 тыс. руб. в течение месяца начисляет простые проценты по ставке 5% годовых. Определить наращенную сумму в течение полугодия.

Решение:

Значение Т равно шесть месяцев, рассчитываем исходя из 365 дней в году:

Дк = Дн x (1 + Т x α)^N = 100 x (1 + 30 : 365

x 0,05)⁶ = 102,49 (тыс. руб.).

Наращенная сумма составит 102,49 тыс. руб., сумма наращения по простым процентам составит:

Сн = 102,49 - 100 = 2,49 тыс. руб.

Пример 48. Ссуда в размере 900 тыс. руб. предоставляется сроком на четыре года под простые проценты. Процентная ставка в первый год составляет 30%, каждый последующий год увеличивается на 5%. Определить сумму к погашению ссуды.

Решение:

Наращенная сумма к концу срока составит:

Дк = 900 x (1 + 0,3) x (1 + 0,35)x (1 + 0,40) x (1 + 0,45) = 3206,385 (тыс. руб.).

Сумма наращения по процентам:

Сн = 3206,385 - 900 = 2306,385 (тыс. руб.).

Сложные проценты.

В долгосрочных финансово-кредитных операциях, если суммы процентов не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, для наращения суммы ссуд применяют сложные проценты. Наращение по сложным процентам представляет собой последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.

Наращенная сумма ссуды определяется по формуле:

Дк (Т) = Дн x (1 + α)^Т,

где

Дк (Т) - наращенная сумма ссуды через Т лет;

Дн - первоначальная сумма;

α - годовая ставка процента в виде десятичной дроби;

Т - срок ссуды в годах.

Если в течение года начисления процентов осуществляются несколько раз, то наращенная сумма определяется по формуле:

Дк (Т) = Дн x (1 + α : М)^{(М x Т)} ,

где

Дк (Т) - сумма ссуды к погашению через Т лет;

Дн - первоначальная сумма;

α - годовая процентная ставка;

М - количество начислений процентов в год;

М x Т - число единичных периодов от момента получения кредита до момента его погашения.

Единичный период - это промежуток времени между двумя начислениями (капитализация) процентов. Величина (α : М) называется номинальной ставкой. Чем больше начислений в год, тем чаще происходит капитализация.

Пример 49. Банк предоставил ссуду в размере 300 тыс. руб. сроком на два года под 28% годовых. Проценты начисляются каждое полугодие. Определить сумму к погашению ссуды.

Решение:

В данном примере количество единичных периодов - 4 (2 x 2), процентная ставка на полугодие (номинальная ставка) составит: 28% : 2 = 14%. Сумма средств к погашению через два года составит:

Дк(2) = 300 x (1 + 14 : 100)⁴ = 506,69 (тыс. руб.).

Пример 50. Банк предоставил ссуду в размере 600 тыс. руб. сроком на два года под 24% годовых, погашение кредита - каждый квартал. Определить наращенную сумму, сумму наращений на сложные проценты.

Решение:

В данном примере количество единичных периодов - 8 (2 x 4), процентная ставка на квартал составляет:

24% : 4 = 6%.

Сумма к погашению через два года составит:

Дк(2) = 600 x (1 + 6 : 100)⁸ = 956,31 (тыс. руб.).

Сумма наращения на сложные проценты составляет:

Сн = 956,31 - 600 = 456,31 (тыс. руб.).

Смешанные проценты.

Если период ссуды (Т) содержит несколько единичных периодов (МК) продолжительностью Тед и промежуток времени (Тн), продолжительность которого меньше чем продолжительность единичного периода (Тн < Тед), то ссуды выдаются под смешанные проценты. На целое количество единичных периодов (МК) начисляются сложные проценты, а на промежуток времени Тн, меньший продолжительности единичного периода - простые проценты:

Дк (Т) = Дн x (1 + α : М)^мк x (1 + α x Тн : 360),

где

Дк (Т) - сумма ссуды к погашению по истечению срока кредита Т;

Дн - начальная сумма ссуды;

α - годовая процентная ставка;

М - количество единичных периодов в году;

МК - количество целых единичных периодов, вошедших в период кредитования;

Тн - количество дней, не вошедших в единичный период;

Ткр = МК x Тед + Тн.

Пример 51. Банк предоставил предприятию кредит в размере 250 тыс. руб. на 275 дней под 40% годовых. Определить сумму к погашению кредита, если погашение должно осуществляться ежеквартально.

Решение:

Продолжительность кредита - 275 дней можно представить в виде суммы продолжительности трех кварталов (каждый по 90 дней) и 5 дней.

В данном случае МК = 3, Тн = 5 дней, процентная ставка кредита на квартал равна 40% : 4 = 10%. Сумма средств к погашению кредита составит:

Дк (275) = 250 x (1 + 0,1)³ x (1 + 0,4 x 5 : 360) = 334,6 (тыс. руб.).

Банки используют смешанные проценты с целью максимизации своих доходов при предоставлении кредитов.

Эффективная (действительная) ставка процентов.

Если организации необходимо измерить реальный относительный доход, который получает организация от финансовой операции в целом за год, то для этого используют эффективную ставку. Расчет осуществляется по формуле:

αэ = (1 + α : М)^м - 1.

Значение "αэ" определяется как процентное отношение дохода на капитал в конце года к величине капитала на конец года.

Пример 52. Банк начисляет на вклад проценты исходя из номинальной ставки 10% годовых. Определить эффективную годовую ставку при следующих условиях: начисления осуществляются каждый квартал, каждый месяц, каждый день.

Решение:

• Начисления каждый квартал в процентах:

αэ = [(1 + α : М)^м - 1] x 100% = [(1 + 0,1 : 4)⁴ - 1] x 100% = 10,38%.

• Начисления каждый месяц в процентах:

αэ = [(1 + α : М)^м - 1] x 100% = [(1 + 0,1 : 12)¹² - 1] x 100% = 10,47%.

• Начисления осуществляются каждый день в процентах:

αэ = [(1 + α : М)M - 1] x 100% = [(1 + 0,1 : 365)³⁶⁵ - 1] x 100% = 10,52%.

Расчеты показывают, что размер эффективной ставки больше чем номинальной ставки, при росте количества начислений ее размер увеличивается.

Особенности наращения процентов в потребительском кредите.

В потребительском кредите простые проценты, как правило, начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу уже в момент выдачи кредита. Погашение долга с процентами производится частями, равномерно на протяжении всего срока кредита. Наращенная сумма долга по потребительскому кредиту (Дк) и сумма разового погасительного платежа (РДк) определяются по формуле:

Дк = Дн x (1 + Т x α) - РДк = Дк : (Т x М),

где

Т - срок потребительского кредита в годах;

М - число платежей в году.

Следует отметить, что фактическая процентная ставка оказывается заметно выше, чем ставка по условию потребительского кредита.

Пример 53. Банк предоставил кредит для покупки товара на сумму 600 тыс. руб. на два года, ставка простого годового процента 28%, погашение кредита в конце каждого месяца. Рассчитать сумму кредита к погашению, размер ежемесячного платежа.

Решение:

• Определим сумму, которая должна быть погашена в конце года:

Дк = Дн x (1 + Т x α) = 600 x (1 + 2 x 0,28) = 936 (тыс. руб.).

• Определим размер ежемесячного платежа:

РДк = Дк : (Т x М) = 936 : 12 = 78 (тыс. руб.).

Таким образом, каждый месяц заемщик должен платить по кредиту 78 тыс. руб. основного долга и платы за использование кредита.

Понятие дисконтирования и его использование в экономическом анализе

В финансовой практике часто приходится решать задачу, обратную наращенной сумме: по заданной сумме Дк, которую следует уплатить через некоторое время Т, необходимо определить сумму полученной ссуды Дн.

Такие ситуации возникают, когда руководство организации разрабатывает условия определенных контрактов, когда проценты с заданной суммы Дк удерживаются непосредственно при выдаче ссуды.

В этом случае говорят, что сумма Дк дисконтируется. Термин "дисконтирование" употребляется и как средство определения любой стоимостной величины Дк, вне зависимости от того, имела ли место в действительности финансовая операция (кредитование, выдача денег в долг и т.д.).

Основные понятия дисконтирования:

• учет - процесс начисления и удержания процентов вперед называется учетом;
• дисконт - проценты в виде разности между Дк и Дн:

Д = Дк - Дн;

• приведение стоимостного показателя - определение стоимостной величины будущего периода в настоящий момент времени.

Исходя из вида процентной ставки применяют два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет.

Математическое дисконтирование позволяет решать задачу: какую первоначальную сумму надо выдать в долг (Дн), чтобы при начислении на нее процентов ставке "α" к концу срока получить наращенную сумму, равную (Дк).

Для решения при начислении по простым процентам используется формула:

Дн = Дк x [1 : (1 + З x α)],

где

α - годовая ставка;

З = Тс : Т, Тс - период ссуды в днях;

Т - база распределения (360, 365 или 366 дней);

[1 : (1 + З x α)] называют дисконтным множителем, он показывает, какую долю составляет первоначальная ссуда Дн в наращенной сумме ссуды Дк.

Пример 54. Банк предоставил организации кредит под 15% годовых, по окончанию которого через 270 дней организация должна уплатить 450 тыс. руб. Определить, какую сумму получит организация, и сумму дисконта.

Решение:

• Определим сумму ссуды, которую может получить организация на этих условиях, считая, что временная база равна 365 дней:

Дн = Дк x [1 : (1 + З x α)] = 450 x [1 : (1 + 0,15 x 270 : 365)] = 450 x [1 : (1 + 0,11096)] = 450 x [1 : 1,11096] = 405,06 (тыс. руб.).

• Определим размер дисконта:

Д = Дк - Дн = 405,06 - 450 = -44,94 (тыс. руб.).

Банковский (коммерческий) учет.

Суть операции учета заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает обязательство с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк, таким образом, реализует дисконт.

Проценты за пользование ссудой начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока ссуды.

Простая годовая учетная ставка определяется по формуле:

d = (Дк - Дн) : Дк,

где d - годовая процентная ставка или дисконт.

Простая ставка процентов определяется по формуле:

α = (Дк - Дн) : Дн.

Пример 55. Если по условию договора платежное обязательство на сумму 400 тыс. руб. по окончании срока договора должно быть погашено за 430 тыс. руб., то размер годовой процентной ставки составит:

Д = (Дк - Дн) : Дк = (430 - 400) : 430 = 0,06977, или 6,98%.

Соответственно размер простой ставки процентов равен:

α = (Дк - Дн) : Дн = (430 - 400) : 400 = 0,075, или 7,5%.

Размер простой ставки процентов больше, чем размер годовой процентной ставки.

Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, определяется из формулы:

Дн = Дк x (1 - Nс x d),

где

d - ставка дисконта;

Nc - доля дней до погашения кредита в базе распределения (чаще всего 360 дней);

(1 - Nc x d) - дисконтный множитель.

Пример 56. Вексель выдан на сумму 200 тыс. руб. с уплатой 19,10. Владелец векселя учел его в банке 5.09 по учетной ставке 9%. Определить сумму векселя к погашению, размер дисконта.

Решение:

Определим величину векселя к погашению, учитывая, что до срока погашения осталось 44 дня (292 - 248 = 44):

Дн = 200 x (1 - 44 : 360 x 0,09) = 200 x (1 - 0,01) = 200 x 0,99 = 198 (тыс. руб.).

Дисконт равен:

Д = Дк - Дн = 200 - 198 = 2 (тыс. руб.).

Оценка продолжительности срока ссуды и уровня процентной ставки.

При анализе условий контракта часто возникают задачи:

1. Определения срока ссуды или уровня процентной ставки при выполнении конкретных условий.

   Расчет продолжительности ссуды в годах (Т) и днях (ДН) определяют по формулам:

   Тг = (Дк - Дн) : (Дн x a) x Тд = Тг x 365 (дней);

   Тг = (Дк - Дн) : (Дк x d) x Тд = Тг x 365 (дней),

   где

   Тг, Тд - соответственно, продолжительность ссуды в годах, днях;

   Дк - размер долга, который следует уплатить через некоторое время Т;

   Дн - сумма полученной ссуды;

   d - ставка дисконта;

   α - ставка процентов.

2. Определение уровня процентной ставки и ставки дисконта при заданных условиях: Дн, Дк, Тг.

   Размер процентной ставки определяется по формуле:

   α = (Дк - Дн) : (Дн x Тд) x Ту.

   Размер учетной ставки определяется по формуле:

   d = (Дк - Дн) : (Дк x Тд) x Ту,

   где Ту - база начисления процентов Ту = 360 (365, 366).

Пример 57. Какова должна быть продолжительность ссуды в днях, чтобы по окончании договора о ссуде в размере 350 тыс. руб. выплатить по условию договора 380 тыс. руб., при условии, что на сумму долга начисляют простые проценты по ставке 13%.

Решение:

Продолжительность ссуды в годах равна:

Тг = (Дк - Дн) : (Дн x d) = (380 - 350) : (350 x 0,13) = 0,66 (года).

Продолжительность в днях: Тд = Т x 365 = 0,66 x 365 = 240,9 (дня).

Таким образом, срок ссуды при таких условиях должен составить 241 день.

Пример 58. При составлении контракта на ссуду в размере 400 тыс. руб. предусматривается погашение обязательств через 150 дней в размере 430 тыс. руб. Определить доходность данной операции для кредитора в виде учетной ставки и ставки процентов, расчетная база - 360 дней.

Решение:

Учетная ставка данной операции:

d = (Дк - Дн) : (Дк x Тдн) x 360 = (430 - 400) : (430 x 150) x 360 = 0,1674.

Таким образом, учетная ставка данной операции составляет 16,74%.

Ставка процентов по данной операции:

α = (Дк - Дн) : (Дн x Тд) x Ту = (430 - 400) : (400 x 150) x 360 = 0,18.

Таким образом, ставка процентов по данной операции составит 18%.