О решении операторных уравнений
Цель лекции: Показать способы решения операторных уравнений а гильбертовом пространстве. Реализовать с помощью объектно-ориентированного программирования на C# классы для решения этих задач.
Как мы уже отмечали, многие математические задачи могут быть записаны в виде операторных уравнений. И одной из основных задач при рассмотрении операторных уравнений является нахождение обратного оператора. Мы рассмотрим методы решения операторных уравнений, основанные на методе Галеркина. Основным модельным примером в нашем рассмотрении будет краевая (двухточечная) задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
Мы будем рассматривать следующее уравнение
( 11.1) |
( 11.2) |
Используя результаты предыдущей лекции, мы будем рассматривать следующее гильбертово пространство , в котором в качестве базисных функций выбраны функции
Введем еще одно пространство, которое обозначим . Мы будем говорить, что функция принадлежит пространству , если коэффициенты Фурье этой функции: удовлетворяют следующему условию --- для них сходится ряд: Последнее условие требует более быстрого убывания коэффициентов Фурье, что соответствует большей гладкости решения. Как мы видели в прошлой лекции, если функция , то вторая производная этой функции (точнее, действие оператора ) принадлежит . Введем еще один простой оператор умножения на константу . Очевидно, что это тоже диагональный оператор, для которого коэффициенты равны Тогда задачу 11.1 - 11.2 можно записать в операторном виде:( 11.3) |
Операторный подход позволяет довольно просто получить решение задачи 11.3. Чтобы вывести аналитико-численные формулы, для решения задачи 11.3 представим функцию разложением в ряд:
где коэффициенты Фурье могут быть найдены по формуле Соответственно, решение мы будем искать в виде: Таким образом задача сводится к нахождению чисел . Находить эти числа мы будем следующим образом - подставим разложение по базисным функциям в уравнение 11.3: Что можно записать следующим образом Умножая скалярно это равенство на базисные функции , получаем цепочку (бесконечную) равенств: Откуда получаем (в силу неотрицательности ): Наш операторный подход позволяет получать решение краевой задачи для дифференциального уравнения используя лишь арифметические операции.Единственный нетривиальный момент при применении нашего операторного подхода состоит в том, чтобы получить разложение правой части по выбранному базису. Однако поскольку для получения этого разложения нужно вычислять скалярные произведения, то мы можем воспользоваться ранее созданными классами для гильбертовых пространств.