О решении операторных уравнений
Практическое занятие "Реализация операторов в гильбертовых пространствах"
Цель занятия
Продемонстрировать на характерных примерах реализацию линейных операторов в сепарабельных гильбертовых пространствах.
Практическая задача
Будем рассматривать абстрактное гильбертово пространство ,
которое задано с помощью своего ортонормированного базиса
.
Если в качестве пространства
взять гильбертово пространство
, то в качестве ортонормированного базиса можно взять
систему функций


Рассмотрим реализацию линейного оператора, действующего в
пространстве , заданного с помощью бесконечной матрицы. Зададим
формально бесконечную матрицу
как множество


Действие оператора на некоторый элемент


На лекциях мы встречались с операторами, которые представлялись диагональной матрицей, и по сути сводились к умножению коэффициентов Фурье на числа. Сейчас мы рассмотрим более общие операторы.
В качестве примера рассмотрим оператор , который задается
матрицей


Пусть мы рассматриваем пространство с заданным выше
ортонормированным базисом. Рассмотрим функцию
. Эта
функция представляется следующим рядом Фурье



Рассмотрим еще интересный оператор , действие которого
можно описать следующим образом. Пусть задан элемент пространства
своим рядом Фурье









Для оператора можно привести обратный оператор
,
который действует согласно следующей формуле





