Oбъектно-opиентированное управление решениями дифференциальных уравнений
Цель лекции: Показать применение дифференциальных уравнений в задачах управления. Показать эффективность объектно-ориентированного управления в задачах построения управляемых систем.
Многие процессы, описываемые дифференциальными уравнениями, являются управляемыми системами. Дадим формальное описание управляемой системы.
Пусть ,
имеют тот же смысл, что и в прошлой лекции.
Пусть теперь еще выделено семейство множеств
,
где
и
являются параметрами. Множество
называется множеством допустимых управлений.
Пусть теперь задана функция , которая определена при
,
,
. Будем рассматривать обыкновенное дифференциальное
уравнение с управлением
![]() |
( 18.1) |
![]() |
( 18.2) |
![[0,T]](/sites/default/files/tex_cache/b74093923941d33ee19becc5f4b48b25.png)


![t\in[0,T]](/sites/default/files/tex_cache/8b20560d8c06799d96af194ac2594a0b.png)
Мы сформулировали задачу на управления решениями дифференциальных уравнений в довольно общем виде. Однако, как правило, управление осуществляется с некоторой целью. Для этого вводится так называемый целевой функционал. Целевым функционалом называется любая числовая функция определенная на решении задачи 18.1-18.2. Обозначим этот функционал следующим образом






Обратимся к моделированию задач управления. Общая схема такова
- Задаем начальное управление
- Решаем систему дифференциальных уравнений с начальным управлением на одном шаге методом Рунге-Кутты
- По полученному решению на очередном шаге меняем (в случае необходимости) управление
- Повторяем шаги 2-3 до тех пор пока решение и управления не станут удовлетворительными с точки зрения целевого функционала
Следует отметить, что далеко не всегда удовлетворительное с точки зрения целевого функционала решение задачи управления является оптимальным решением. Более того, существует такие задачи управления решениями, для которых не существует оптимального решения.
Реализуем эту схему в виде абстрактного класса, который мы
создадим, как наследник класса .
![\begin{verbatim}
abstract class TControlSystem : TRungeKutta
{
public int M;
public double[] U;
public TControlSystem(int N, int M) : base(N)
{
this.M = M;
U = new double[M];
}
abstract public void SetU();
public override void NextStep(double dt)
{
SetU();
base.NextStep(dt);
}
}
\end{verbatim}](/sites/default/files/tex_cache/0b635740ffff042d3d76c95e5f9858d6.png)
Рассмотрим модельную систему управления на основе уравнений, описывающих математический маятник. Будем рассматривать следующую управляемую систему дифференциальных уравнений.





![\begin{verbatim}
class TOscControl : TControlSystem
{
public TOscControl() : base(2, 1)
{
U[0] = 0;
}
public override void SetU()
{
if (Math.Abs(Y[0]) > 0.2)
{
U[0] = 1;
}
else
{
U[0] = 0;
}
}
public override void F(double t, double[] Y,
ref double[] FY)
{
FY[0] = Y[1];
FY[1] = -Y[0] - U[0] * Y[1];
}
}
\end{verbatim}](/sites/default/files/tex_cache/3d644d888345636bbbda476a99793e04.png)
И проведем вычислительный эксперимент.
![\begin{verbatim}
TOscControl Osc = new TOscControl();
Osc.SetInit(0, new double[2] { 1, 0 });
double h = 0.01;
StreamWriter F = File.CreateText("control.txt");
while (Osc.GetCurrent() < 50.0 + h / 2.0)
{
Console.WriteLine("{0}\t{1}\t{2}\t{3}",
Osc.GetCurrent(), Osc.Y[0], Osc.Y[1], Osc.U[0]);
F.WriteLine("{0}\t{1}\t{2}\t{3}",
Osc.GetCurrent(), Osc.Y[0], Osc.Y[1], Osc.U[0]);
Osc.NextStep(h);
}
F.Close();
\end{verbatim}](/sites/default/files/tex_cache/f7537242bddb290c7b43265643532889.png)