НОУ ИНТУИТ | Современные численные методы в объектно-ориентированном изложении на C#. Лекция 10: Объектно-ориентированный подход в моделировании функциональных пространств

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 18.05.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 965 / 104 | Оценка: 4.40 / 4.20 | Длительность: 12:30:00

Тема: Программирование

Специальности: Программист, Архитектор программного обеспечения

|

Вам нравится? Нравится 18 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Рассмотрены вопросы объектно-ориентированного моделирования абстрактных пространств: метрические пространства, нормированные пространства, гильбертовы пространства. Приведены примеры для функциональных пространств.

Ключевые слова: функциональное пространство, функция, метрика, метрическое пространство, предел, пространство, класс, вектор, длина, расстояние, норма, разность, числовой функцией, Произведение, неравенство Коши-Буняковского, абстрактный класс

Цель лекции: Реализовать важный инструмент современной математики - функциональные пространства. Показать их применимость для реализации вычислительных процедур.

В современной математике часто изложение построено на использовании функциональных пространств и методов функционального анализа. Среди фундаментальных понятий функционального анализа мы рассмотрим: метрические пространства, банаховы пространства и гильбертовы пространства. Мы будем предполагать, что понятие линейного пространства является известным.

Метрическим пространством называется пара $(\Bbb{X},\varrho)$ , где $\Bbb{X}$ некоторое множество произвольной природы, а $\varrho$ числовая функция

$\varrho:\Bbb{X}\times\Bbb{X}\to\Bbb{R},$

удовлетворяющая следующим условиям для любых $x,y,z\in\Bbb{X}$ :

$\varrho(x,y)\ge0$
$\varrho(x,y)=0$ тогда и только тогда, когда
$\varrho(x,z)\le\varrho(x,y)+\varrho(y,z)$

В этом случае функция $\varrho$ называется метрикой или расстоянием.

Метрика позволяет ввести фундаментальное понятие сходимости в метрическом пространстве. Пусть задано метрическое пространство $(\Bbb{X},\varrho)$ , которое мы будем обозначать $\Bbb{X}_\varrho$ или просто $\Bbb{X}$ , если это не приводит к недоразумению. Последовательность x_n сходиться к элементу x_0 , если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $N=N(\varepsilon)$ , что

$\varrho(x_n,x_0)<\varepsilon,$

для всех

. В этом случае пишут

$x_0=\lim\limits_{n\to\infty}x_n.$

Последовательность x_n

называется фундаментальной, если для любого $\varepsilon >0$ существует такое $N=N(\varepsilon)$ , что

$\varrho(x_p,x_q) <\varepsilon,$

для всех

. Если метрическое пространство такое, что любая фундаментальная последовательность имеет предел, то такое пространство называется полным метрическим пространством.

Приведем некоторые примеры метрических пространств.

Пространство $\Bbb{R}^n$ с евклидовой метрикой

$\varrho(x,y)=|x-y|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}$

является полным метрическим пространством.

Пространство непрерывных на $[a,b], -\infty<a<b<\infty$ функций C[a,b] является полным метрическим пространством с метрикой

$\varrho(f,g)=\max\limits_{x\in[a,b]}|f(x)-g(x)|.$

Это пространство в отличии от $\Bbb{R}^n$ является бесконечномерным функциональным пространством.

Во множестве непрерывных на [a,b] функций можно ввести другую метрику

$\varrho(f,g)=\int\limits_a^b|f(x)-g(x)|dx.$

Это метрическое пространство мы обозначим через L[a,b]

. Пространство L[a,b]

не является полным. Например последовательность f_n(x)=x^n

является фундаментальной на в C[0,1]

, но не имеет предела в пространстве L[0,1]

.

Реализуем теперь абстрактное метрическое пространство на C#.

$\begin{verbatim} abstract class TMetricSpace { public abstract double rho(object x, object y); } \end{verbatim}$

Это класс-заготовка для произвольного метрического пространства. Реализуем метрическое пространство $\Bbb{R}^n$ . Для этого сначала нам потребуется создать класс, представляющий

-мерный вектор.

$\begin{verbatim} class TRn { double[] A; int N = 0; public TRn(int N) { this.N = N; A = new double[N + 1]; } public double this[int index] { get { return A[index]; } set { A[index] = value; } } public int GetN() { return N; } } \end{verbatim}$

А теперь создадим класс являющийся наследником от

.

$\begin{verbatim} class TRnMetric : TMetricSpace { public override double rho(object x, object y) { TRn X, Y; X = (TRn)x; Y = (TRn)y; double res = 0; for (int i = 1; i <= X.GetN(); i++) { res += (X[i] - Y[i]) * (X[i] - Y[i]); } return Math.Sqrt(res); } } \end{verbatim}$

Проверим "в бою" наши классы. Попробуем вычислить длину диагонали единичного куба.

$\begin{verbatim} TRn A = new TRn(3); TRn B = new TRn(3); A[1] = 0; A[2] = 0; A[3] = 0; B[1] = 1; B[2] = 1; B[3] = 1; TRnMetric M = new TRnMetric(); Console.WriteLine("R = {0}", M.rho(A, B)); \end{verbatim}$

Запустим и увидим:

$\begin{verbatim} R = 1.73205080756888 \end{verbatim}$

Длина диагонали единичного куба, как раз, и равна $R=\sqrt{3}$ .

Среди метрических пространств есть такие пространства, в которых можно ввести не только расстояние между элементами, но и длину каждого элемента. Эта длина называется нормой. Линейное пространство $\Bbb{X}$ называется нормированным, если в нем можно ввести норму для каждого элемента, обозначаемую $\|x\|_\Bbb{X}$ , удовлетворяющую следующим условиям для всех $x,y\in\Bbb{X}$ и $\lambda\in\Bbb{C}$

$\|x\|\ge0$
$\|x\|=0$ тогда и только тогда, когда
$\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$
$\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|$

Сразу заметим, что любая норма порождает в нормированном пространстве метрику по формуле

$\varrho(x,y)=\|x-y\|.$

Нормированное пространство, являющаяся полным, называется банаховым пространством. Рассмотренные ранее примеры метрических пространств являются также и нормированными пространствам:

$\|x\|_{\Bbb{R}^n}=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2},$

$\|f\|_{C[a,b]}=\max\limits_{x\in[a,b]}|f(x)|,$

$\|f\|_{L[a,b]}=\left(\int\limits_a^b|f(x)|^2dx\right)^{1/2}.$

Соответственно пространства $\Bbb{R}^n$ и C[a,b]

являются банаховыми пространствами, а пространство L[a,b]

только нормированным.

Дальше >>

Авторизоваться

Современные численные методы в объектно-ориентированном изложении на C#

Объектно-ориентированный подход в моделировании функциональных пространств

Вопросы и ответы