Объектно-ориентированный подход в моделировании функциональных пространств
Цель лекции: Реализовать важный инструмент современной математики - функциональные пространства. Показать их применимость для реализации вычислительных процедур.
В современной математике часто изложение построено на использовании функциональных пространств и методов функционального анализа. Среди фундаментальных понятий функционального анализа мы рассмотрим: метрические пространства, банаховы пространства и гильбертовы пространства. Мы будем предполагать, что понятие линейного пространства является известным.
Метрическим пространством называется пара , где некоторое множество произвольной природы, а числовая функция
удовлетворяющая следующим условиям для любых :- тогда и только тогда, когда
В этом случае функция называется метрикой или расстоянием.
Метрика позволяет ввести фундаментальное понятие сходимости в метрическом пространстве. Пусть задано метрическое пространство , которое мы будем обозначать или просто , если это не приводит к недоразумению. Последовательность сходиться к элементу , если для любого существует такое , что
для всех . В этом случае пишут Последовательность называется фундаментальной, если для любого существует такое , что для всех . Если метрическое пространство такое, что любая фундаментальная последовательность имеет предел, то такое пространство называется полным метрическим пространством.Приведем некоторые примеры метрических пространств.
Пространство с евклидовой метрикой
является полным метрическим пространством.Пространство непрерывных на функций является полным метрическим пространством с метрикой
Это пространство в отличии от является бесконечномерным функциональным пространством.Во множестве непрерывных на функций можно ввести другую метрику
Это метрическое пространство мы обозначим через . Пространство не является полным. Например последовательность является фундаментальной на в , но не имеет предела в пространстве .Реализуем теперь абстрактное метрическое пространство на C#.
Это класс-заготовка для произвольного метрического пространства. Реализуем метрическое пространство . Для этого сначала нам потребуется создать класс, представляющий -мерный вектор. А теперь создадим класс являющийся наследником от .Проверим "в бою" наши классы. Попробуем вычислить длину диагонали единичного куба.
Запустим и увидим: Длина диагонали единичного куба, как раз, и равна .Среди метрических пространств есть такие пространства, в которых можно ввести не только расстояние между элементами, но и длину каждого элемента. Эта длина называется нормой. Линейное пространство называется нормированным, если в нем можно ввести норму для каждого элемента, обозначаемую , удовлетворяющую следующим условиям для всех и
- тогда и только тогда, когда
Сразу заметим, что любая норма порождает в нормированном пространстве метрику по формуле
Нормированное пространство, являющаяся полным, называется банаховым пространством. Рассмотренные ранее примеры метрических пространств являются также и нормированными пространствам: Соответственно пространства и являются банаховыми пространствами, а пространство только нормированным.