Обыкновенные дифференциальные уравнения
Цель лекции: Показать эффективность объектно-ориентированного подхода к задаче нахождения численных решений задачи Коши для дифференциальных уравнений. Провести вычислительные эксперименты и сравнить различные методы.
В настоящей лекции мы будем рассматривать задачу Коши для довольного широкого класса обыкновенных дифференциальных уравнений.
Сначала перейдем к формальному определению постановки задачи Коши. Пусть - область (ограниченная или нет) в -мерном пространстве. Пусть также задан отрезок , здесь может быть и бесконечностью. Введем обозначение
Пусть в задана функция тогда можно рассматривать обыкновенное дифференциальное уравнение( 16.1) |
( 16.2) |
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказываются следующие теоремы.
Теорема 16.1. Пусть функция является непрерывной в , тогда существует такое , что на существует по крайней мере одно решение задачи 16.1-16.2.
В условиях теоремы существуют примеры задач Коши, которые имеют более одного решения. Действительно, если взять , , а в качестве функции
то задачка Коши имеет бесконечное число решений: где - параметр семейства решений.Чтобы гарантировать единственность решения задачи Коши, необходимо накладывать большие условия на функцию .
Теорема 16.2. Пусть функция является непрерывной в , и существует такая положительная константа , зависящая только от что для любого отрезка выполнено неравенство
( 16.3) |
Тогда существует такое , что на существует единственное решение задачи 16.1-16.2.
Условие 16.3 называется условием Липшица. Это условие будет заведомо выполнено, если непрерывная функция имеет ограниченные и непрерывные производные по в .
Приведенные выше теоремы гарантируют только локальную разрешимость задачи Коши. Действительно, следующий пример задачи Коши не имеет решения на любом отрезке , где . Пусть снова , функция имеет вид
тогда задача Коши имеет единственное решение которое не продолжается вне интервала .Чтобы гарантировать существование глобального по времени решения, необходимо накладывать дополнительные условия на рост правой части.
Теорема 16.3. Пусть выполнены все условия теоремы 16.2 и дополнительно функция удовлетворяет условию в области
где константа не зависит ни от , ни от , тогда задача Коши имеет единственное решение на отрезке .В курсах по обыкновенным дифференциальным уравнениям проходят разнообразные методы нахождения точных решений дифференциальных уравнений. Однако, во-первых, случаи, когда можно найти точные решения являются исключительными случаями и для многих уравнений доказано, что найти решение в квадратурах невозможно. Во-вторых, даже если удалось найти точное решение, то это решение может быть выражено в неявном виде, либо в виде квадратур, которые в свою очередь могут не выражаться в элементарных случаях. В-третьих, во многих задачах правые части могут не быть заданы элементарными функциями. Наконец, во многих случаях построение приближенного решения с достаточной точностью является значительно более простым и эффективным, чем нахождение точного решения.