Обыкновенные дифференциальные уравнения
Цель лекции: Показать эффективность объектно-ориентированного подхода к задаче нахождения численных решений задачи Коши для дифференциальных уравнений. Провести вычислительные эксперименты и сравнить различные методы.
В настоящей лекции мы будем рассматривать задачу Коши для довольного широкого класса обыкновенных дифференциальных уравнений.
Сначала перейдем к формальному определению постановки задачи
Коши. Пусть - область (ограниченная или нет) в
-мерном пространстве. Пусть также задан отрезок
,
здесь
может быть и бесконечностью. Введем обозначение
![D_\Bbb{T}=\{(x,t):x\in\overline D,t\in[0,\Bbb{T}]\}.](/sites/default/files/tex_cache/0c895a8a55b47f5d21d805f45da38170.png)


![]() |
( 16.1) |
![]() |
( 16.2) |

![[0,T]](/sites/default/files/tex_cache/b74093923941d33ee19becc5f4b48b25.png)

![t\in[0,T]](/sites/default/files/tex_cache/8b20560d8c06799d96af194ac2594a0b.png)


В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказываются следующие теоремы.
Теорема 16.1. Пусть функция является непрерывной в
, тогда
существует такое
, что на
существует по крайней мере
одно решение задачи 16.1-16.2.
В условиях теоремы существуют примеры задач Коши, которые имеют
более одного решения. Действительно, если взять ,
, а в качестве функции





Чтобы гарантировать единственность решения задачи Коши, необходимо
накладывать большие условия на функцию .
Теорема 16.2. Пусть функция является непрерывной в
, и
существует такая положительная константа
, зависящая только
от
что для любого отрезка
выполнено неравенство
![]() |
( 16.3) |

![t\in[0,\tau]](/sites/default/files/tex_cache/9b7a68a8c422f3640411e8db4ac0d10f.png)
Тогда существует такое , что на
существует
единственное решение задачи 16.1-16.2.
Условие 16.3 называется условием Липшица. Это
условие будет заведомо выполнено, если непрерывная функция
имеет ограниченные и непрерывные производные по
в
.
Приведенные выше теоремы гарантируют только локальную разрешимость
задачи Коши. Действительно, следующий пример задачи Коши не имеет
решения на любом отрезке , где
. Пусть
снова
, функция
имеет вид





Чтобы гарантировать существование глобального по времени решения, необходимо накладывать дополнительные условия на рост правой части.
Теорема 16.3. Пусть выполнены все условия теоремы 16.2 и дополнительно
функция удовлетворяет условию в области





В курсах по обыкновенным дифференциальным уравнениям проходят разнообразные методы нахождения точных решений дифференциальных уравнений. Однако, во-первых, случаи, когда можно найти точные решения являются исключительными случаями и для многих уравнений доказано, что найти решение в квадратурах невозможно. Во-вторых, даже если удалось найти точное решение, то это решение может быть выражено в неявном виде, либо в виде квадратур, которые в свою очередь могут не выражаться в элементарных случаях. В-третьих, во многих задачах правые части могут не быть заданы элементарными функциями. Наконец, во многих случаях построение приближенного решения с достаточной точностью является значительно более простым и эффективным, чем нахождение точного решения.