Опубликован: 18.05.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 968 / 105 | Оценка: 4.40 / 4.20 | Длительность: 12:30:00
Лекция 17:

Обыкновенные дифференциальные уравнения

< Лекция 16 || Лекция 17: 123 || Лекция 18 >

Перейдем к реализации метода Рунге-Кутта на основе нашего класса TODE.

\begin{verbatim}
    abstract class TRungeKutta : TODE
    {

        double[] Y1, Y2, Y3, Y4; // внутренние переменные

        public TRungeKutta(int N) : base(N)
        {
            Y1 = new double[N];
            Y2 = new double[N];
            Y3 = new double[N];
            Y4 = new double[N];
        }
\end{verbatim}
\begin{verbatim}
// следующий шаг метода Рунге-Кутта, dt - шаг по времени
        override public void NextStep(double dt)
        {
            if (dt < 0)
            {
                return;
            }

            int i;

            F(t, Y, ref Y1); // рассчитать Y1

            for (i = 0; i < N; i++)
            {
                YY[i] = Y[i] + Y1[i] * (dt / 2.0);
            }
            F(t + dt / 2.0, YY, ref Y2); // рассчитать Y2

            for (i = 0; i < N; i++)
            {
                YY[i] = Y[i] + Y2[i] * (dt / 2.0);
            }
            F(t + dt / 2.0, YY, ref Y3); // рассчитать Y3

            for (i = 0; i < N; i++)
            {
                YY[i] = Y[i] + Y3[i] * dt;
            }
            F(t + dt, YY, ref Y4); // рассчитать Y4

            for (i = 0; i < N; i++)
            {
                // рассчитать решение на новом шаге
                Y[i] = Y[i] + dt / 6.0 *
                (Y1[i] + 2.0 * Y2[i] + 2.0 * Y3[i] + Y4[i]);
            }

            t = t + dt; // увеличить шаг

        }
    }
\end{verbatim}

Теперь протестируем наши методы на примере задач Коши, описывающей гармонические колебания математического маятника. Мы решаем следующую задачу.

y''(x)+y(x)=0
с начальными условиями
y(0)=0,
y'(0)=1.
Эта задача имеет единственное решение - \sin t. Чтобы применить к этой задаче наши методы нужно записать ее в виде системы уравнений первого порядка.
Y_0(t)=y(t),
Y_1(t)=y'(t).
После такой замены мы имеет следующую систему
Y'_0(t)=Y_1(t)
Y'_1(t)=-Y_0(t)
с начальными условиями
Y_0(0)=0,
Y_1(0)=1.
Реализуем для нашей системы методы Эйлера и Рунге-Кутты

\begin{verbatim}
class THarmonicEuler : TEuler
{
    public THarmonicEuler() : base(2) { }
    public override void F(double t, double[] Y,
    ref double[] FY)
    {
        FY[0] = Y[1];
        FY[1] = -Y[0];
    }
}

class THarmonicRK : TRungeKutta
{
    public THarmonicRK() : base(2) { }
    public override void F(double t, double[] Y,
    ref double[] FY)
    {
        FY[0] = Y[1];
        FY[1] = -Y[0];
    }
}
\end{verbatim}

Испытаем наши классы

\begin{verbatim}
double h = 0.1;

double[] Y0 = { 0, 1.0 };

THarmonicEuler HarmonicEuler = new THarmonicEuler();
HarmonicEuler.SetInit(0, Y0);

THarmonicRK HarmonicRK = new THarmonicRK();
HarmonicRK.SetInit(0, Y0);

StreamWriter F = File.CreateText("harmonic.txt");

double t, Euler, RK, Sin;

while (HarmonicEuler.GetCurrent() < (2 * Math.PI + h / 2.0))
{
    t = HarmonicEuler.GetCurrent();
    Euler = HarmonicEuler.Y[0];
    RK = HarmonicRK.Y[0];
    Sin = Math.Sin(t);

    F.WriteLine("{0}\t{1}\t{2}\t{3}\t\t{4}\t{5}\t{6}",
    t, Euler, RK, Sin, t, Math.Abs(Sin - Euler),
    Math.Abs(Sin - RK));

    HarmonicEuler.NextStep(h);
    HarmonicRK.NextStep(h);
}
F.Close();
\end{verbatim}

Результаты расчетов приведем на трех графиках. На рисунке 16.1 мы приводим график точного решения и приближенных, полученных методами Эйлера и Рунге-Кутты. Однако на этом графике не возможно отличить точное решение от приближенного решения, полученного методом Рунге-Кутты. На рисунках 16.2 и 16.3 мы показываем погрешности методов. Из анализа этих графиков видно, что точность метода Рунге-Кутты значительно выше, что обосновывается теоретически.

Точное и приближенное решение дифференциального уравнения

Рис. 16.1. Точное и приближенное решение дифференциального уравнения
Погрешность метода Эйлера

Рис. 16.2. Погрешность метода Эйлера
Погрешность метода Рунге–Кутты

Рис. 16.3. Погрешность метода Рунге–Кутты

Ключевые термины

Глобальное решение - решение задачи Коши, существующее при всех t\ge0.

Задача Коши - дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями на решение.

Метод Рунге-Кутта - наиболее распространенный метод численного интегрирования задачи Коши с точностью четвертого порядка.

Метод Эйлера - простейший метод численного интегрирования задачи Коши с точностью первого порядка.

Условие Липшица - условие на приращение функции, более сильное чем условие непрерывности, но слабее чем условие дифференцируемости.

Краткие итоги: Построены объектно-ориентированные средства для численного решения задачи Коши. Проведены вычислительные эксперименты, для сравнения методов Эйлера и Рунге-Кутты.

< Лекция 16 || Лекция 17: 123 || Лекция 18 >