Обыкновенные дифференциальные уравнения
Перейдем к реализации метода Рунге-Кутта на основе нашего класса .
Теперь протестируем наши методы на примере задач Коши, описывающей гармонические колебания математического маятника. Мы решаем следующую задачу.
с начальными условиями Эта задача имеет единственное решение - . Чтобы применить к этой задаче наши методы нужно записать ее в виде системы уравнений первого порядка. После такой замены мы имеет следующую систему с начальными условиями Реализуем для нашей системы методы Эйлера и Рунге-КуттыИспытаем наши классы
Результаты расчетов приведем на трех графиках. На рисунке 16.1 мы приводим график точного решения и приближенных, полученных методами Эйлера и Рунге-Кутты. Однако на этом графике не возможно отличить точное решение от приближенного решения, полученного методом Рунге-Кутты. На рисунках 16.2 и 16.3 мы показываем погрешности методов. Из анализа этих графиков видно, что точность метода Рунге-Кутты значительно выше, что обосновывается теоретически.
Ключевые термины
Глобальное решение - решение задачи Коши, существующее при всех .
Задача Коши - дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями на решение.
Метод Рунге-Кутта - наиболее распространенный метод численного интегрирования задачи Коши с точностью четвертого порядка.
Метод Эйлера - простейший метод численного интегрирования задачи Коши с точностью первого порядка.
Условие Липшица - условие на приращение функции, более сильное чем условие непрерывности, но слабее чем условие дифференцируемости.
Краткие итоги: Построены объектно-ориентированные средства для численного решения задачи Коши. Проведены вычислительные эксперименты, для сравнения методов Эйлера и Рунге-Кутты.