Приближение многочленами
Цель лекции: Рассмотреть основные методы аппроксимации числовых функций полиномами. Описать методы полиномиальной интерполяции функций.
Довольно часто возникает задача восстановление значений функции, которая задана лишь в некоторых точках. Совершенно очевидно, что если мы знаем значения функции лишь в некоторых фиксированных точках, то значения функции в промежуточных значениях аргумента могут быть любыми. Однако часто имеется некоторая априорная информация о свойствах функции, с помощью которой удается найти приемлемое значение функции.
Пусть на отрезке задана некоторая числовая функция
. Разбиением отрезка
называется конечное множество
точек
таких, что





![x\in[a,b]](/sites/default/files/tex_cache/c7c42309c359c25dfe77f397d5261997.png)

![x\notin[a,b]](/sites/default/files/tex_cache/88b6f307d5be729ea91741e247bb2b7c.png)
Решение задачи интерполяции может быть представлено в виде функции (алгоритма)


![[a,b]](/sites/default/files/tex_cache/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
Классическим методом построения интерполяционной функции является
построение многочлена степени



Покажем, что такой многочлен всегда можно построить. Точнее мы предъявим формулу, которая даст нам этот интерполяционный многочлен.
Введем функции:




![]() |
( 14.1) |
Можно убедиться также в том, что этот многочлен единственный. Действительно, для любого другого многочлена, для которого






Многочлен, заданный по формуле 14.1 называется интерполяционным многочленом в форме Лагранжа.
Лагранжева форма интерполяционного многочлена является не единственной формой интерполяционного многочлена. Более удобной для практических расчетов является интерполяционный многочлен в форме Ньютона. Для заданного разбиения отрезка и значений функции в этих узлах введем понятие раздельной разности. Раздельной разностью первого порядка называется число





Хотя формулы для построения интерполяционных многочленов выглядят
просто, метод интерполяции функций многочленами имеет серьезные
недостатки для больших значений . Во-первых, работа с
многочленами большой степени, как правило, сопряжено с
вычислительной неустойчивостью. Во-вторых, как было показано
К.Рунге в своей знаменитой работе 1901 года, существует такая
бесконечно гладкая функция, для которой интерполяционный
многочлен, построенный на равномерной сетке может иметь бесконечно
большое отклонение с увеличением количества узловых точек.
Рассмотрим этот пример. Пусть функция

![[-1,1]](/sites/default/files/tex_cache/d060b17b29e0dae91a1cac23ea62281a.png)



![\lim\limits_{N\to\infty}\max\limits_{x\in[-1,1]}|f(x)-P_N(x)|=\infty.](/sites/default/files/tex_cache/296d0647d3dc5bcbd4126503c0ea99be.png)
Ключевые термины
Разбиение отрезка - конечное множество точек, принадлежащих заданному отрезку.
Узловые точки - элементы из множества разбиения отрезка.
Интерполяция - процедура приближенного вычисления значений функции по заданным значениям функции в узловых точках.
Экстраполяция - процедура вычисления значений функции вне отрезка, на котором задана функция.
Интерполяционная функция - функция, которая реализует интерполяцию.
Краткие итоги: Рассмотрены методы интерполяции функции на основе приближения полиномами. Приведены методы построения интерполяционных полиномов в форме Лагранжа и в форме Ньютона.