НОУ ИНТУИТ | Современные численные методы в объектно-ориентированном изложении на C#. Лекция 18: Эволюционные уравнения в частных производных

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 18.05.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 970 / 106 | Оценка: 4.40 / 4.20 | Длительность: 12:30:00

Тема: Программирование

Специальности: Программист, Архитектор программного обеспечения

|

Вам нравится? Нравится 18 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Лекция посвящена вопросам построения приближенных методов для эволюционных уравнений в частных производных. Рассматриваются явные методы построения приближенных решений эволюционных уравнений.

Цель лекции: Рассмотреть методы построения приближенных решений для линейных и нелинейных эволюционных уравнений.

В предыдущей лекции мы рассматривали системы обыкновенных дифференциальных уравнений конечной размерности. Однако многие процессы в нашем мире описываются бесконечными системами дифференциальных уравнений. Такие системы иногда называют распределенными системами или уравнениями в частных производных. Решением уравнений в частных производных является функция многих переменных. Простейшими уравнениями в частных производных второго порядка являются следующие уравнения

$\Delta u(x)=f(x)\quad\mbox{- уравнение Лапласа}$

$u_t(t,x)=\Delta u(t,x)+f(t,x)\quad\mbox{- уравнение теплопроводности}$

$u_{tt}(t,x)=\Delta u(t,x)+f(t,x)\quad\mbox{- волновое уравнение}$

Уравнение Лапласа является примером эллиптического уравнения, уравнение теплопроводности является примером параболического уравнения, а волновое уравнение является примером гиперболического уравнения. С математической точки зрения дифференциальные уравнения в частных производных представляют собой весьма сложную тему, которая имеет принципиальные отличия от обыкновенных дифференциальных уравнений. С вычислительной точки зрения, часто, дифференциальные уравнения в частных производных могут быть аппроксимированы конечномерными уравнениями. Эллиптические уравнения могут быть аппроксимированы системами линейных алгебраических уравнений, а эволюционные уравнения аппроксимируются системами обыкновенных дифференциальных уравнений.

Мы будем рассматривать эволюционные уравнения относительно функций заданных на отрезке [0,T] со значениями в банаховом пространстве, например, в пространстве C[a,b] . Численные методы, которые мы будем рассматривать могут быть одинаково эффективно применены как для линейных, так и для нелинейных уравнений. Рассмотрим математическую постановку начальной задачи. Пусть есть некоторое банахово пространство. Пусть в этом в этом пространстве задано множество ${\cal D}\subset X$ , на котором определен оператор ${\cal A}$ (линейный или нелинейный).

Будем рассматривать уравнение

$u_t(t)={\cal A} u(t),\quad t\in[0,T]$

( 16.5)

с начальным условием

$u(0)=\varphi.$

( 16.6)

Искомой функцией в задаче 16.5-16.6 является функция $u\in C^1([0,T];X)$ такая, что $u(t)\in{\cal D}$ при всех $t\in[0,T]$ и, удовлетворяющая 16.5-16.6. Элемент $\varphi\in{\cal D}$ называется начальным условием, а задача 16.5-16.6 называется абстрактной задачей Коши.

Приведем два характерных примера таких задач. В качестве пространства мы возьмем пространство непрерывных функций $C[0,2\pi]$ в качестве множества ${\cal D}$ возьмем множество непрерывно дифференцируемых функций на отрезке $[0,2\pi]$ и являющихся $2\pi$ -периодическими. Будем рассматривать два модельных уравнения. Первое - уравнение линейного переноса

( 15.7)

где $c\neq0$ - постоянная, имеющая смысл "скорости" распространения волны. Второе уравнение - уравнение нелинейного переноса

( 15.8)

Опишем построение численной схемы. Мы будем использовать проекционный метод для приближенного решения абстрактной задачи Коши. Этот метод позволяет свести задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть для любого n>0 существует пара отображений

$P_N:X\to\Bbb{R}^n,\quad I_N:\Bbb{R}^n\to {\cal D}.$

Как правило на эти отображения накладываются условия

$P_nI_nx=x,\quad\mbox{для любого\ }x\in\Bbb{R}^n$

и

$\lim\limits_{n\to\infty}I_NP_Nx=x,\quad\mbox{для любого\ }x\in{\cal D},$

где предел понимается в метрике пространства

. Задача 16.5-16.6 заменяется следующей задачей

$u^n_t(t)=P_n{\cal A} I_nu^n(t),$

( 16.9)

$u^n_t(0)=P_n\\varphi.$

( 16.10)

Задача 16.9-16.10 представляет собой задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

-го порядка. Далее эта система решается стандартными численными методами, например, методом Рунге-Кутта, который мы рассматривали на прошлой лекции. После нахождения решения задачи 16.9-16.10 то есть функции u^n(t)

, в качестве приближенным решением исходной задачи можно выбрать функцию I_nu^n(t)

.

Хотя описанный проекционный метод является, как правило, легко реализуемым, но при его использовании необходимо иметь в виду вопросы, связанные с его сходимостью и устойчивостью. Дело в том, что даже для простейших уравнений при использовании проекционного метода следует согласовывать шаг по времени, то есть тот шаг, который используется в численном методе при решении задачи 16.9-16.10, с шагом, который имеет место при построении аппроксимации пространства .

Для уравнений 16.7 и 16.8 мы будем использовать следующие операторы P_n и I_n

$P_nf(x)=\left(% \begin{array}{c} f_1 \\ f_2 \\ \vdots \\ f_n \\ \end{array}% \right)$

где $f_i=f((i-1)\frac{2\pi}{n})$ , $i=1,2,\dots,n$ . Для реализации оператора I_n

необходимо использовать подходящую интерполяцию. Мы будем рассматривать кусочно-линейную интерполяцию. Покажем, как таким образом можно определить операцию

$P_n\frac{d}{dx}I_nf=g=\left(% \begin{array}{c} g_1 \\ g_2 \\ \vdots \\ g_n \\ \end{array}% \right)$

где

$g_i=\frac{f_{i+1}-f_i}{h},\quad i=1,2\dots,n-1,$

$g_n=\frac{f_{1}-f_n}{h},$

где $h=\frac{2\pi}{n}$ .

Реализуем этот метод для линейного уравнения переноса. Для этого мы создадим класс, являющийся наследником от класса TRungeKutta .

$\begin{verbatim} class TCUEvol : TRungeKutta { double c; // скорость волны double h; public TCUEvol(int N, double c) : base(N) { this.c = c; h = 2.0 * Math.PI / N; } public override void F(double t, double[] Y, ref double[] FY) { int i; for (i = 0; i < N - 1; i++) { FY[i] = c * (Y[i + 1] - Y[i]) / h; } FY[N - 1] = c * (Y[0] - Y[N - 1]) / h; } } \end{verbatim}$

Испытаем наш класс, учитывая, что для начальной функции вида $\sin kx$ это уравнение имеет точное решение в виде бегущей волны u(t,x)= sin(k(t+x)) .

$\begin{verbatim} int N = 1000; double h = 0.0001; double[] Y0 = new double[N]; TCUEvol CU = new TCUEvol(N, 1); double x; int i; for (i = 0; i < N; i++) { x = (double)i * (2.0 * Math.PI) / (double)N; Y0[i] = Math.Sin(5.0 * x); } CU.SetInit(0, Y0); double t = 0; while (CU.GetCurrent() < (1.0 + h / 2.0)) { t = CU.GetCurrent(); CU.NextStep(h); // рассчитать на следующем шаге } StreamWriter Fout = File.CreateText("cu.txt"); for (i = 0; i < N; i++) { x = (double)i * (2.0 * Math.PI) / (double)N; Fout.WriteLine("{0}\t{1}\t{2}\t{3}", x, CU.Y[i], Math.Sin(5.0 * (t + x)), Math.Sin(5.0 * (t + x)) - CU.Y[i]); } Fout.Close(); \end{verbatim}$

Мы решали задачу:

$u(0,x)=\sin 5x.$

Эта задача с $2\pi$ -периодическими по переменной

условиями имеет единственное решение

$u(t,x)=\sin(5(t+x)),$

Дальше >>

Авторизоваться

Современные численные методы в объектно-ориентированном изложении на C#

Эволюционные уравнения в частных производных

Вопросы и ответы