Общие динамические системы
Цель лекции: Показать эффективность объктно-ориентированного подхода для моделирования динамических систем. Создать классы на языке C# для моделирования динамических систем с непрерывным и дискретным временем.
Динамической системой называют математическую модель системы, процессы в которой развиваются во времени. Состояние динамической системы характеризуется фазовыми координатами, которые принадлежат фазовому пространству. Время в динамической системе может быть как непрерывным, так и дискретным. Фазовое множество может быть конечным или бесконечным.
Пусть дано непустое множество , которое мы будем называть фазовым пространством, а каждый элемент этого множества описывает состояние рассматриваемой системы. Через мы будем обозначать либо множество , либо множество натуральных чисел . Это множество будет играть роль времени. В первом случае мы будем рассматривать непрерывные динамические системы, а во втором - дискретные.
Абстрактно заданной динамической системой называется однопараметрическая полугруппа преобразований множества
удовлетворяющее следующим условиям:- для любого ,
- для любых , .
Соответственно, чтобы задать динамическую систему необходимо фиксировать множества , и задать отображение , удовлетворяющее указанным выше условиям. Пусть , . Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений -го порядка, которая имеет единственное глобальное решение для всех . Тогда решение этой системы задает отображение
Легко видеть, что это отображение удовлетворяет всем условиям непрерывной динамической системы.Дискретную динамическую систему можно построить следующим образом. Пусть у нас некоторое множество и задан оператор
Построим полугруппу отображений следующим образом где есть единичное отображение. Таким образом мы имеем дискретную динамическую систему. Содержательные примеры конечной дискретной динамической системы строятся на основании конечных автоматов.Конечным автоматом называется набор , где - конечное множество (входной/выходной алфавит), - конечное множество (внутренние состояния), - начальное состояние, - функция переходов
С помощью конечного автомата динамическая система строится следующим образом. Множество , . Будем обозначать . Отображение задается по правилу: и так далее. Важной характерной чертой конечного автомата является то, что задаваемая им динамическая система является периодической, то есть начиная с некоторого номера состояния будут повторятся.Приступим к реализации класса на C# для описания абстрактной динамической системы.