Oбъектно-opиентированное управление решениями дифференциальных уравнений
На рисунке 18.1 мы приводим фазовый портрет нашей управляемой системы. Угловые точки на траектории отражают моменты переключения управления. Мы видим, что траектория быстро сходится к искомому предельному циклу. Предельным циклом называется периодическая (замкнутая) траектория в окрестности которой нет других периодических траекторий.
Заметим, что хотя наше уравнение маятника является линейным относительно неизвестной функции и управление входит в это уравнение линейно, но зависимость решения от управления является уже нелинейной. Эта ситуация является общей для систем управления.
Другой пример управляемой системы состоит в следующем. Будем рассматривать простейшую систему автопилота самолета. Мы будем управлять курсовым углом самолета. Пусть нам задан нулевой курс. В линейном приближении колебания этого курса описываются системой дифференциальных уравнений:
пусть начальные условия таковы Предположим, что наше управление может принимать только два значения: Программное управление выберем следующим естественным образом Реализуем эту системуИ проведем вычислительный эксперимент с нашим управлением.
В результате на рисунке 18.2 мы получим колебания нашего курса. Можно видеть, что довольно быстро амплитуда колебаний нашего курса становится малой, однако в нашей системе возникли характерные автоколебания. Автоколебаниями называются незатухающие периодические колебания. При этом частота этих колебаний определяется свойствами самой нелинейной системы, а не частотой внешнего воздействия. Предельный цикл является одним из примеров автоколебаний.
Ключевые термины
Множество допустимых управлений - множество, которому принадлежит управление.
Управляемая система - система, описывающаяся дифференциальным и уравнениями, содержащие управление.
Целевой функционал - функционал на решении, с помощью которого определяется оптимальное решение.
Краткие итоги: Рассмотрены методы управления дифференциальными уравнениями с помощью выбора правых частей. Проведены вычислительные эксперименты, позволяющие дать качественную картину некоторых задач управления.