НОУ ИНТУИТ | Современные численные методы в объектно-ориентированном изложении на C#. Лекция 12: О решении операторных уравнений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 18.05.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 976 / 106 | Оценка: 4.40 / 4.20 | Длительность: 12:30:00

Тема: Программирование

Специальности: Программист, Архитектор программного обеспечения

|

Вам нравится? Нравится 18 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Перейдем к программированию классов для реализации операторного подхода к решению задачи 11.1 - 11.2.

$\begin{verbatim} // класс для вычисления оператора class TOE { TD2Q D2Q; public TOE(double q, TRFunc F) { D2Q = new TD2Q(q, new TL2Right(F)); } public double Y(double x) { return D2Q.Calc(x); } } // класс оператора class TD2Q : TL2Operator { double q; public TD2Q(double q, THElement u) : base(u) { if (q < 0) { this.q = 0; } else { this.q = q; } } public override double alpha(int k) { double kx = (double)k; return 1.0 / (kx * kx + q); } } \end{verbatim}$

$\begin{verbatim} // класс - базисные функции class TE_k : TRFunc { int k; public TE_k(int k) : base(0, Math.PI) { this.k = k; } protected override TElement CalcVal(double x) { TElement res = new TElement(Math.Sqrt(2.0 / Math.PI) * Math.Sin((double)k * x)); return res; } } \end{verbatim}$

$\begin{verbatim} // класс - правые части уравнения class TL2Right : TL2Element { protected TLSpace Ld; protected TRFunc F; public TL2Right(TRFunc F) { Ld = new TLSpace(); this.F = F; } // разложение по базису public override double a(int k) { TE_k e_k = new TE_k(k); return Ld.inner(F, e_k); } } class TRight1 : TRFunc { public TRight1() : base(0, Math.PI) { } protected override TElement CalcVal(double x) { TElement res = new TElement(1.0); return res; } } \end{verbatim}$

$\begin{verbatim} class TRight2 : TRFunc { public TRight2() : base(0, Math.PI) { } protected override TElement CalcVal(double x) { TElement res = new TElement(Math.Sin(x)); return res; } } class TRight3 : TRFunc { public TRight3() : base(0, Math.PI) { } protected override TElement CalcVal(double x) { TElement res = new TElement(Math.Cos(x)); return res; } } \end{verbatim}$

Теперь будем решать численно нашу задачу для разных значений и правых частей f(x) .

$\begin{verbatim} TRight1 F1 = new TRight1(); TOE OE = new TOE(0, F1); Console.WriteLine("q = 0; f(x)=1; Y(1) = {0}", OE.Y(1.0)); TRight2 F2 = new TRight2(); OE = new TOE(0, F2); Console.WriteLine("q = 0; f(x)=sin(x); Y(1) = {0}", OE.Y(1.0)); TRight3 F3 = new TRight3(); OE = new TOE(0, F3); Console.WriteLine("q = 0; f(x)=cos(x); Y(1) = {0}", OE.Y(1.0)); OE = new TOE(10.0, F1); Console.WriteLine("q = 10; f(x)=sin(x); Y(1) = {0}", OE.Y(1.0)); OE = new TOE(10.0, F2); Console.WriteLine("q = 10; f(x)=sin(x); Y(1) = {0}", OE.Y(1.0)); OE = new TOE(10.0, F3); Console.WriteLine("q = 10; f(x)=cos(x); Y(1) = {0}", OE.Y(1.0)); \end{verbatim}$

В итоге получим следующие результаты:

$\begin{verbatim} q = 0; f(x)=1; Y(1) = 1.07079628676603 q = 0; f(x)=sin(x); Y(1) = 0.841470984797919 q = 0; f(x)=cos(x); Y(1) = 0.176922106919835 q = 10; f(x)=sin(x); Y(1) = 0.0956527832996927 q = 10; f(x)=sin(x); Y(1) = 0.0764973622552322 q = 10; f(x)=cos(x); Y(1) = 0.0453741941981012 \end{verbatim}$

Сравним наши результаты с точными решениями при q=0 . Задача

$-y''(x)=1,\ x\in(0,\pi),$

$y(0)=y(\pi)=0$

Имеет точное решение

$y(x)=-\frac{1}{2}x^2+\frac{\pi}{2}x,$

значение

равно

$y(1)=-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}=1.0707963267948966192313216916398\dots.$

Задача

$-y''(x)=\sin(x),\ x\in(0,\pi),$

$y(0)=y(\pi)=0$

Имеет точное решение

$y(x)=\sin(x)$

значение

равно

$y(1)=0.8414709848078965066525023216303\dots.$

Задача

$-y''(x)=\cos(x),\ x\in(0,\pi),$

$y(0)=y(\pi)=0$

Имеет точное решение

$y(x)=\cos x +\frac{2}{\pi}x-1$

значение

равно

$y(1)=0.17692207823572106047647166093303\dots.$

Мы видим, что наши численные результаты довольно точны. Однако если бы мы использовали аналитические выражения для коэффициентов Фурье, то точность и скорость вычислений были бы значительно выше. Это выражает тот факт, что использование теоретических знаний при конструировании численных методов могут значительно увеличить эффективность последних.

Ключевые термины

Гильбертово пространство $L_2(0,\pi)$ - наиболее известное гильбертово функциональное пространство, состоящее из измеримых функций, интегрируемых в квадратом модуля.

Краевая задача - дифференциальное уравнение с заданными условиями на решение на концах отрезка.

Метод Галеркина - общий метод для приближенного нахождения решений операторных уравнений.

Краткие итоги: Подробно рассмотрены методы численного решения краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка. С помощью реализованных классов, проведены различные вычислительные эксперименты.

Дальше >>

Авторизоваться

Современные численные методы в объектно-ориентированном изложении на C#

О решении операторных уравнений

Вопросы и ответы