Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1275 / 290 | Оценка: 4.40 / 4.36 | Длительность: 21:57:00
Специальности: Математик

Лекция 1: Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость

Лекция 1: 1234567891011 || Лекция 2 >

Теорема. (об устойчивости по начальным данным для несамосопряженного оператора \mathbf{A} (без доказательства))

Разностная схема

$  {\mathbf{B}} \frac{{{\mathbf{u}}_{n + 1} - {\mathbf{u}}_n}}{\tau} + {\mathbf{Au}}_n = 0   $

равномерно устойчива по начальным данным, если

({\sigma}- 0, 5){\tau}\|\mathbf{Au}\|^2 + (\mathbf{Au}, \mathbf{u}) \ge 0,

причем для ее решения справедлива оценка

\|\mathbf{u}_{n + 1}\| \le \|\mathbf{u}_n \| , \quad n = 0, \ldots , N - 1.

Таким образом, рассмотрен вопрос об устойчивости разностной схемы, записанной в операторной канонической форме

$
{{\mathbf{B}} \frac{{{\mathbf{u}}^{n + 1} - {\mathbf{u}}^{n}}}{\tau} + 
{\mathbf{Au}}^{n} = 0}  $ ( 1.10)

в случае {\mathbf{B}} = {\mathbf{B}}^*  > 0, {\mathbf{A}}
 = {\mathbf{A}}^*  > 0, причем \mathbf{A} и \mathbf{B} — постоянные матрицы. Рассмотрим более сложные случаи, в частности схему с весами

$  {\frac{{{\mathbf{u}}^{n + 1} - {\mathbf{u}}^{n}}}{\tau} + {\mathbf{Au}}^{({\sigma})} = 0, }  $ ( 1.11)

где \mathbf{A} — кососимметрический оператор: {\mathbf{A}} = - {\mathbf{A}}^*, тогда ({\mathbf{Ay}}, {\mathbf{y}}) = ({\mathbf{y}}, {\mathbf{A}}^*{\mathbf{y}}) = - ({\mathbf{Ay}}, {\mathbf{y}}) {\forall}{\mathbf{y}}. Пример таких схем — простейшие разностные схемы для уравнения переноса:

$ \frac{{{\mathbf{u}}_m^{n + 1} - {\mathbf{u}}_m^{n}}}{\tau} + 
a \frac{{{\mathbf{u}}_{m + 1}^{n} - {\mathbf{u}}_{m - 1}^{n}}}{{2h}} = 0.  $

Представим разностную схему (1.11) в каноническом виде (1.10)

$  {\mathbf{B}} \frac{{{\mathbf{u}}^{n + 1} - {\mathbf{u}}^{n}}}{\tau} + {\mathbf{Au}}^{n} = 0, \quad \mbox{где} \quad 
{\mathbf{B}} = {\mathbf{E}} + {\sigma}\tau{\mathbf{A}}.   $

Заметим, что ({\mathbf{BU}}, {\mathbf{u}}) = ({\mathbf{u}}, {\mathbf{u}}) + {\sigma}{\tau}({\mathbf{Au}}, {\mathbf{u}}) = ({\mathbf{u}}, {\mathbf{u}}) = \|{\mathbf{u}}\|^2. Кроме того, {\forall}{\mathbf{u}}: \quad \|{\mathbf{u}}\|  \ne 0 верно ({\mathbf{BU}}, {\mathbf{u}}) > 0. Тогда {\exists}{\mathbf{B}}^{- 1}, и, сделав замену, {\mathbf{u}} = 
{\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{x}}, имеем:

\begin{gather*}
 \|{\mathbf{u}}\|^2 = \|{\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{x}}\|^2 = ({\mathbf{BB}}^{- 1}{\mathbf{x}}, {\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{x}}) = ({\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{x}}, {\mathbf{x}}) \le \|{\mathbf{B}}^{ - 1}{\mathbf{x}}\| \cdot \|{\mathbf{x}}\| , \\ 
 \|{\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{x}}\| \le \|{\mathbf{x}}\| \quad \mbox{и} \quad  \|{\mathbf{B}}^{- 1}\| \le 1. \end{gather*}

Схема (1.10) представима в виде

{\mathbf{BU}}^{n + 1} = {\mathbf{BU}}^{n} -{\tau}{\mathbf{Au}}^{n} = 0;   {\mathbf{u}}^{n + 1} = {\mathbf{u}}^{n} -{\tau}{\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{Au}}^{n} = 
0

(разрешенный относительно верхнего временного слоя вид).

Найдем ({\mathbf{BU}}^{n + 1}, {\mathbf{u}}^{n + 1}).

\begin{gather*}
({\mathbf{BU}}^{n + 1} , {\mathbf{u}}^{n + 1} ) = ({\mathbf{BU}}^{n} -{\tau}{\mathbf{Au}}^{n}, {\mathbf{u}}^{n} -{\tau}{\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{Au}}^{n}) = \\ 
 = ({\mathbf{BU}}^{n}, {\mathbf{u}}^{n} ) -{\tau}[({\mathbf{Au}}^{n}, {\mathbf{u}}^{n}
) + ({\mathbf{BU}}^{n}, {\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{Au}}^{n} )] +{\tau}^2 ({\mathbf{Au}}^{n}, {\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{Au}}^{n} ). \end{gather*}

В этом случае идеология доказательства оказывается похожей на доказательство устойчивости методов Рунге - Кутты на нейтральных по устойчивости траекториях. Первое слагаемое в квадратных скобках равно нулю, оценим второе слагаемое:

\begin{gather*}
{\mathbf{B}} = {\mathbf{E}} + {\sigma}{\tau}{\mathbf{A}} \equiv {\mathbf{E}} - {\sigma}{\tau}{\mathbf{A}} + 2 {\sigma}{\tau}{\mathbf{A}} = {\mathbf{B}}^* + 2 {\sigma}{\tau}{\mathbf{A}}; \\ 
 ({\mathbf{BU}}^{n}, {\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{Au}}^{n} ) = ({\mathbf{B}}^* {\mathbf{u}}^{n}, {\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{Au}}^{n} ) + 2 {\sigma}{\tau}({\mathbf{Au}}^{n}, {\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{Au}}^{n} ); \end{gather*}

первое из слагаемых в левой части выражения — нуль. В результате имеем:

$
{\|{\mathbf{u}}^{n + 1}\|^2 = \|{\mathbf{u}}^{n}\|^2 - (2 {\sigma}- 1){\tau}^2({\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{Au}}^{n}, {\mathbf{Au}}^{n}, {\mathbf{B}}^{- 
1}{\mathbf{Au}}^{n}).} ( 1.12)

Если {\sigma}\ge 0, 5, то \|{\mathbf{u}}^{n + 1}\| \le \|{\mathbf{u}}^{n}\|, и схема устойчива по начальным данным. Можно показать, что она также будет устойчива и по правой части.

Пусть теперь \sigma  < 0, 5. Из (1.12) следует, что

\|{\mathbf{u}}^{n + 1}\|^2 \le \|{\mathbf{u}}^{n}\|^2 - (2 {\sigma}- 1){\tau}^2 \|{\mathbf{A}}\|^2 \|{\mathbf{u}}^{n}\|^2 \le (1 + c_0{\tau})\|{\mathbf{u}}^{n}\|^2,

где c_0 = (1 - 2 {\sigma}){\tau}\|{\mathbf{A}}\|^2. Если {\tau}\|{\mathbf{A}}\|^2 \le c_2, то в случае \sigma  < 0,5 разностная схема будет равномерно устойчива с {\rho} = \sqrt {1 + c_0{\tau}} \le e^{0, 5c_0 \tau}. Из устойчивости по начальным данным и в этом случае следует устойчивость по правой части.

Рассмотрим пример: уравнение Шредингера движения частицы во внешнем поле ( m = 1 )

$  i \hbar \frac{{\partial}{\psi}}{{\partial}t} = - \frac{\hbar ^2}{2}
 \frac{{\partial}^2 {\psi}}{{\partial}x^2} + U {\psi},  $

или, после обезразмеривания, получим

$ - i \frac{{\partial}{\psi}}{\partial t} - \frac{1}{2} \frac{{\partial}^2{\psi}}{{\partial}x^2} + \tilde{U}{\psi} = 0.  $

Если внешнего поля нет, можно потенциальную энергию частицы $ \tilde{U} $ положить равной нулю. На отрезке [0;1] можно записать разностную схему "с комплексными коэффициентами", аппроксимирующую уравнение Шредингера:

\begin{gather*}
 - i \frac{{\mathbf{\psi}}^{n + 1} - {\mathbf{\psi}}^{n + 1}}{\tau} - 
 \frac{1}{2}{\mathbf{{\lambda}\psi}}^{({\sigma})} = 0, \\ 
{{\mathbf{{\lambda}\psi}}^{n} \equiv - \frac{{\psi_{m + 1}^{n} - 
2 \psi_m^{n} + \psi_{m - 1}^{n}}}{{h^2}}.}
 \end{gather*}
 ( 1.13)
Лекция 1: 1234567891011 || Лекция 2 >