Численное решение уравнений в частных производных эллиптического типа на примере уравнений Лапласа и Пуассона
Среди всех типов уравнений математической физики эллиптические уравнения с точки зрения вычислителей стоят особняком. С одной стороны, имеется хорошо развитая теория решения эллиптических уравнений и систем. Достаточно легко доказываются теоремы об устойчивости разностных схем для эллиптических уравнений. Во многих случаях получаются априорные оценки точности расчетов и числа итераций при решении возникающих систем сеточных уравнений. С другой стороны, системы сеточных уравнений, возникающие при решении уравнений методами сеток, имеют большую размерность и плохо обусловлены. Для решения таких систем разработаны специальные итерационные методы.
6.1. Постановка задачи. Простейшая разностная схема "крест". Устойчивость схемы "крест"
Будем рассматривать двухмерное уравнение Пуассона

в единичном квадрате с краевыми
условиями первого рода на границе расчетной области

( — заданная на границе функция).
В случае прямоугольной области граничные условия удобно записать в следующем виде:

Для простоты выкладок введем равномерную расчетную сетку с узлами {xm, yl}, m, l = 0, 1, ... , M с равным количеством шагов по каждому пространственному направлению, сеточную область D — совокупность всех узлов сетки, включая граничные, и сеточную функцию { uml }. В этом случае шаги по координатам предполагаются равными. В случае неравных шагов по каждому направлению полученные результаты не изменятся, а запись уравнений станет более громоздкой.
Выбираем простейший пятиточечный шаблон разностной схемы "крест". На этом шаблоне аппроксимирующее разностное уравнение легко выписать. Для этого производные заменим вторыми разностями:

где h — шаг по координатам, или в операторной форме

здесь

Эту же разностную схему можно записать в каноническом виде для разностных схем для эллиптических уравнений:

Такую каноническую запись не следует путать с канонической формой записи итерационного метода, которая встретится ниже.
Такая схема обладает вторым порядком аппроксимации по обеим координатам. Это легко показать, применяя разложение в ряд Тейлора функции — проекции точного решения на сетку — вплоть до членов четвертого порядка включительно. Проведем такое разложение для одного из операторов, стоящих в данном разностном уравнении:

Здесь учтено разложение проекции точного решения в ряд Тейлора

и аналогичное разложение для um - 1.
Для рассматриваемого двухмерного уравнения получим выражение для главного члена невязки
![$ {\mathbf{\Lambda}}_1 u_{ml} + {\mathbf{\Lambda}}_2 u_{ml} = \left[{\frac{{\partial}^2 u}{{\partial}x^2} + \frac{{\partial}^2 u} {{\partial}y^2}}\right]_{ml} + \frac{h^2}{12} \left[{\frac{{\partial}^4 u} {{\partial}x^4} + \frac{{\partial}^4 u}{{\partial}y^4 }}\right]_{ml} + O(h^4 ). $](/sites/default/files/tex_cache/b2f2bf9cc2961c26c6aab033fa8ce23c.png)
Рассмотрим устойчивость полученной схемы. Отметим, что методы исследования на устойчивость, применяемые для эволюционных (зависящих от времени) уравнений, здесь не работают. Действовать приходится на основе определения устойчивости.
Сформулируем и докажем две леммы, которые облегчат процедуру доказательства устойчивости разностной схемы.