Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1189 / 240 | Оценка: 4.40 / 4.36 | Длительность: 21:57:00
Специальности: Математик

Лекция 2: Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на примере уравнения теплопроводности

Аннотация: В лекции рассматриваются разностные схемы для решения линейного уравнения теплопроводности, нелинейного уравнения теплопроводности. Приводится пример интегро - интерполяционного метода для построения разностных схем. Отдельно рассматриваются экономичные схемы решения многомерных задач для уравнения теплопроводности — переменных направлений, дробных шагов, Дугласа - Ганна

2.1. Постановки задач для уравнений параболического типа

Рассмотрим численные методы решения уравнений параболического типа.

Одномерное линейное уравнение теплопроводности (диффузии). Напомним постановку соответствующей смешанной задачи:

$
{\frac{{\partial}u}{{\partial}t} = a \frac{{\partial}^2 u}{{\partial}x^2} + f(t, x), t \in [0, T], x \in [0, X].}   $ ( 2.1)

Здесь a = a(x, t) > 0. Для того чтобы задача была поставлена корректно, необходимо задать начальное условие

u(0, x) = u0(x), t = 0,

и граничные условия

\begin{gather*} 
- A_1 \frac{{\partial}u}{{\partial}x} + B_1u =  \varphi_1(t), x = 0, \\ 
A_2 \frac{{\partial}u}{{\partial}x} - B_2u =  \varphi_2(t), x = X. \end{gather*}

О свойствах решений линейного уравнения теплопроводности подробнее в [12.1], [12.3].

Одномерное квазилинейное уравнение теплопроводности (диффузии):

$
{\frac{{\partial}u}{{\partial}t} = \frac{{\partial}}{{\partial}x} \left[{a(u) \frac{{\partial}u}{{\partial}x}\right] + f(u), \quad t \in \left[{0, {\rm T}}\right], x \in \left[{0, X}\right].}  $ ( 2.2)

Уравнения такого вида встречаются в теории горения, астрофизике, физике плазмы, теории сверхпроводимости Гинзбурга - Ландау, динамике популяций и других приложениях. Здесь a(u) > 0 при любых значениях u, кроме того, \int\limits_0^{u}{a(z) {dz}}  < + \infty . Для глобальной ограниченности решения также требуется выполнение условия

$ \int\limits_1^ \infty \frac{dz}{f(z)} =  \infty   $
. Для корректной постановки задачи необходимо задать одно начальное и два граничных условия. Подробнее о квазилинейных уравнениях теплопроводности в книгах [12.4], [12.5], [12.6], [12.7], [12.8].

Двухмерное линейное уравнение теплопроводности (диффузии):

$ {\frac{{\partial}u}{{\partial}t} = \frac{{{\partial}^2 u}}{{{\partial}x^2}} +  \frac{{{\partial}^2 u}}{{{\partial}y^2}}, t \in \left[{0, {\rm T}}\right], x \in \left[{0, X}\right], y \in \left[{0, Y}\right].}   $ ( 2.3)

Для численного решения уравнения (2.1), по - видимому, наиболее известной является параметрическая двухслойная шеститочечная разностная схема вида

{\frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} = a \left[{\xi \frac{{u_{m - 1}^{n + 1} - 2u_m^{n + 1} + u_{m + 1}^{n + 1}}}{h^2} + (1 - \xi ) \frac{{u_{m - 1}^{n} - 2u_m^{n} + u_{m + 1}^{n}}}{h^2}}\right], } ( 2.4)

где \xi \in \left[{0, 1}\right].

При \xi  = 0 имеем явную схему

$ \frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} =  a \frac{{u_{m - 1}^{n} - 2u_m^{n} + u_{m + 1}^{n}}}{{h^2}} $
, устойчивую при
$ {\sigma}= \frac{a{\tau}}{h^2} \le \frac{1}{2}  $
, с порядком аппроксимации O(\tau , h^{2}).

При \xi  = 1 имеем неявную схему

$ \frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} =  a \frac{{u_{m - 1}^{n + 1} - 2u_m^{n + 1} +  u_{m + 1}^{n + 1}}}{h^2},   $
устойчивую при любых \tau , h, с порядком аппроксимации O(\tau , h^{2}).

При \xi  = 1/2 разностный метод называется схемой Кранка - Никольсон:

\frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} = 
 \frac{a}{2}(\frac{{u_{m - 1}^{n + 1} - 2u_m^{n + 1} + u_{m + 1}^{n + 1}}}{{h^2}} + \frac{{u_{m - 1}^{n} - 2u_m^{n} + u_{m + 1}^{n}}}{h^2}).
Схема устойчива при любых шагах \tau , h и имеет порядок аппроксимации O(\tau ^{2}, h^{2}). Эта схема, в отличие от двух предыдущих, не является монотонной, т.е. она может давать осцилляции разностного происхождения на решениях, имеющих большие градиенты.

Схема, имеющая второй порядок точности по \tau и четвертый по h, получается на расширенном шаблоне с учетом разностной аппроксимации главного члена невязки. При исследовании аппроксимации явной двухслойной схемы получим

$  {\mathbf{\Lambda}}_{\tau} U_{\tau} = {\mathbf{\Lambda}}u + \frac{\tau}{2}u^{\prime\prime}_{tt} -  \frac{{{ah}^2}}{{12}}u_x^{(4)} + O({\tau}^2, h^4).
  $
Николай Щербаков
Николай Щербаков
Россия, Москва
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига