Численные методы решения уравнений в частных производных
[+]
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1279 / 290 | Оценка: 4.40 / 4.36 | Длительность: 21:57:00
Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика
Специальности: Математик
Теги: beta, алгоритмы, вторая производная, вычисления, диффузия, задача Коши, законы, искусственная жизнь, исследования, моделирование, невязка, обыкновенное дифференциальное уравнение, однородное уравнение, параллельные вычисления, потоки, собственный вектор, уравнения газовой динамики, уравнениями в частных производных, численное решение уравнений, элементы

Лекция 2: Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на примере уравнения теплопроводности

A
|
версия для печати
< Лекция 1 || Лекция 2: 12345678 || Лекция 3 >
Аннотация: В лекции рассматриваются разностные схемы для решения линейного уравнения теплопроводности, нелинейного уравнения теплопроводности. Приводится пример интегро - интерполяционного метода для построения разностных схем. Отдельно рассматриваются экономичные схемы решения многомерных задач для уравнения теплопроводности — переменных направлений, дробных шагов, Дугласа - Ганна
Ключевые слова: Численным методом решения уравнений, линейное уравнение, диффузия, квазилинейное уравнение теплопроводности, численное решение уравнений, явная разностная схема, неявная разностная схема, невязки, невязка, шаблон, консервативная схема, интегро - интерполяционный метод, дивергентная форма, метод прогонки, линеаризация, метод Ньютона, функциональное пространство, алгоритм, вторая производная, схема Дугласа - Ганна, методы переменных направлений, система линейных уравнений, устойчивость, вычисление, погрешность, обыкновенное дифференциальное уравнение, сток

2.1. Постановки задач для уравнений параболического типа

Рассмотрим численные методы решения уравнений параболического типа.

Одномерное линейное уравнение теплопроводности (диффузии). Напомним постановку соответствующей смешанной задачи:

$ {\frac{{\partial}u}{{\partial}t} = a \frac{{\partial}^2 u}{{\partial}x^2} + f(t, x), t \in [0, T], x \in [0, X].} $ ( 2.1)

Здесь a = a(x, t) > 0. Для того чтобы задача была поставлена корректно, необходимо задать начальное условие

u(0, x) = u0(x), t = 0,

и граничные условия

\begin{gather*} - A_1 \frac{{\partial}u}{{\partial}x} + B_1u = \varphi_1(t), x = 0, \\ A_2 \frac{{\partial}u}{{\partial}x} - B_2u = \varphi_2(t), x = X. \end{gather*}

О свойствах решений линейного уравнения теплопроводности подробнее в [12.1], [12.3].

Одномерное квазилинейное уравнение теплопроводности (диффузии):

$ {\frac{{\partial}u}{{\partial}t} = \frac{{\partial}}{{\partial}x} \left[{a(u) \frac{{\partial}u}{{\partial}x}\right] + f(u), \quad t \in \left[{0, {\rm T}}\right], x \in \left[{0, X}\right].} $ ( 2.2)

Уравнения такого вида встречаются в теории горения, астрофизике, физике плазмы, теории сверхпроводимости Гинзбурга - Ландау, динамике популяций и других приложениях. Здесь a(u) > 0 при любых значениях u, кроме того, \int\limits_0^{u}{a(z) {dz}} < + \infty . Для глобальной ограниченности решения также требуется выполнение условия

$ \int\limits_1^ \infty \frac{dz}{f(z)} = \infty $
. Для корректной постановки задачи необходимо задать одно начальное и два граничных условия. Подробнее о квазилинейных уравнениях теплопроводности в книгах [12.4], [12.5], [12.6], [12.7], [12.8].

Двухмерное линейное уравнение теплопроводности (диффузии):

$ {\frac{{\partial}u}{{\partial}t} = \frac{{{\partial}^2 u}}{{{\partial}x^2}} + \frac{{{\partial}^2 u}}{{{\partial}y^2}}, t \in \left[{0, {\rm T}}\right], x \in \left[{0, X}\right], y \in \left[{0, Y}\right].} $ ( 2.3)

Для численного решения уравнения (2.1), по - видимому, наиболее известной является параметрическая двухслойная шеститочечная разностная схема вида

{\frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} = a \left[{\xi \frac{{u_{m - 1}^{n + 1} - 2u_m^{n + 1} + u_{m + 1}^{n + 1}}}{h^2} + (1 - \xi ) \frac{{u_{m - 1}^{n} - 2u_m^{n} + u_{m + 1}^{n}}}{h^2}}\right], } ( 2.4)

где \xi \in \left[{0, 1}\right].

При \xi = 0 имеем явную схему

$ \frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} = a \frac{{u_{m - 1}^{n} - 2u_m^{n} + u_{m + 1}^{n}}}{{h^2}} $
, устойчивую при
$ {\sigma}= \frac{a{\tau}}{h^2} \le \frac{1}{2} $
, с порядком аппроксимации O(\tau , h^{2}).

При \xi = 1 имеем неявную схему

$ \frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} = a \frac{{u_{m - 1}^{n + 1} - 2u_m^{n + 1} + u_{m + 1}^{n + 1}}}{h^2}, $
устойчивую при любых \tau , h, с порядком аппроксимации O(\tau , h^{2}).

При \xi = 1/2 разностный метод называется схемой Кранка - Никольсон:

\frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} = \frac{a}{2}(\frac{{u_{m - 1}^{n + 1} - 2u_m^{n + 1} + u_{m + 1}^{n + 1}}}{{h^2}} + \frac{{u_{m - 1}^{n} - 2u_m^{n} + u_{m + 1}^{n}}}{h^2}).
Схема устойчива при любых шагах \tau , h и имеет порядок аппроксимации O(\tau ^{2}, h^{2}). Эта схема, в отличие от двух предыдущих, не является монотонной, т.е. она может давать осцилляции разностного происхождения на решениях, имеющих большие градиенты.

Схема, имеющая второй порядок точности по \tau и четвертый по h, получается на расширенном шаблоне с учетом разностной аппроксимации главного члена невязки. При исследовании аппроксимации явной двухслойной схемы получим

$ {\mathbf{\Lambda}}_{\tau} U_{\tau} = {\mathbf{\Lambda}}u + \frac{\tau}{2}u^{\prime\prime}_{tt} - \frac{{{ah}^2}}{{12}}u_x^{(4)} + O({\tau}^2, h^4). $
Дальше >>
< Лекция 1 || Лекция 2: 12345678 || Лекция 3 >

Вопросы и ответы

вопросов: 0