Авторы: Алексей Лобанов, Игорь Петров
Форма обучения:
дистанционная
Стоимость самостоятельного обучения:
бесплатно
Доступ:
свободный
Документ об окончании:
Вам нравится? Нравится 20 студентам
Уровень:
Профессионал
Длительность:
22:41:00
Студентов:
1279
Выпускников:
289
Качество курса:
4.40 | 4.36
В курсе лекций рассматриваются основные понятия и методы вычислительной математики. Он посвящен решению систем уравнений в частных производных и уравнений математической физики.
В качестве примеров рассматриваются численные методы решения задач газовой динамики. Дается представление о современных методах решения уравнений математической физики, как конечно-разностных методов, так и вариационных и проекционных методах.
Специальности: Математик
Теги: beta, алгоритмы, вторая производная, вычисления, диффузия, задача Коши, законы, искусственная жизнь, исследования, моделирование, невязка, обыкновенное дифференциальное уравнение, однородное уравнение, параллельные вычисления, потоки, собственный вектор, уравнения газовой динамики, уравнениями в частных производных, численное решение уравнений, элементы
Предварительные курсы
План занятий
Занятие
Заголовок <<
Дата изучения
Лекция 1
2 часа 42 минуты
Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость
В лекции рассматриваются методы исследования устойчивости разностных
схем для линейных эволюционных уравнений в частных производных (гиперболического и параболического типов) Обсуждается применение спектрального признака устойчивости, энергетического признака, условия Куранта, Фридрихса и Леви для гиперболических уравнений. Формулируется и доказывается теорема (В. С. Рябенького - П. Лакса) о связи аппроксимации, устойчивости и сходимости для линейных разностных
схем
Оглавление
-
Лекция 2
1 час 31 минута
Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на примере уравнения теплопроводности
В лекции рассматриваются разностные схемы для решения линейного
уравнения теплопроводности, нелинейного уравнения теплопроводности. Приводится пример интегро - интерполяционного метода для построения разностных схем. Отдельно
рассматриваются экономичные схемы решения многомерных задач для уравнения теплопроводности — переменных направлений, дробных шагов, Дугласа - Ганна
Оглавление
-
Лекция 3
3 часа 16 минут
Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа (на примере уравнения переноса)
В лекции дается понятие о простейших разностных схемах для решения
линейного уравнения переноса. Приводится вид некоторых часто употребляемых
схем. Обсуждаются способы конструирования гибридных разностных схем. Обсуждаются
вопросы обобщения на квазилинейный случай. Дается первоначальное представление о
способах регуляризации решений с большими градиентами. Вводится понятие схем с
уменьшением полной вариации (TVD). Рассматриваются основные идеи метода конструирования разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов
Оглавление
-
Лекция 4
1 час 16 минут
Введение в методы численного решения уравнений газовой динамики
Лекция не обязательна при первом прочтении книги. В лекции приводятся
некоторые часто употребляемые численные методы решения уравнений газовой динамики. Особое внимание уделено идее конструирования разностных схем из семейства
сеточно - характеристических
Оглавление
-
Лекция 5
1 час 50 минут
Численное решение уравнений в частных производных гиперболического типа с большими градиентами решений
Лекция продолжает тему предыдущей лекции и также является
необязательной. В ней рассматриваются некоторые идеи, нашедшие свое применение для построения разностных схем решения задач механики сплошной среды. Рассматриваются способы построения гибридных схем для задач с большими градиентами решения, описываются идеи TVD - и ENO - схем. Вкратце описываются разностные схемы, построенные на основе решения задачи о распаде произвольного газодинамического
разрыва (схемы С.К. Годунова)
Оглавление
-
Лекция 6
2 часа 44 минуты
Численное решение уравнений в частных производных эллиптического типа на примере уравнений Лапласа и Пуассона
В лекции разбираются постановка простейшей разностной задачи для
уравнений Лапласа и Пуассона в прямоугольной области (схема "крест"). Дается обзор методов решения сеточных уравнений. Вкратце описываются идеи современных методов решения эллиптических уравнений в области произвольной геометрии — многосеточный метод и метод построения мажорантных разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов
Оглавление
-
Лекция 7
1 час 20 минут
Понятие о методах конечных элементов
Лекция дает первое представление о классе методов конечных
элементов. Приводятся вариационная и проекционная постановки задачи. Рассматривается применение МКЭ к стационарным и нестационарным задачам. Вкратце обсуждаются вопросы устойчивости методов конечных элементов при решении нестационарных задач. Рассматривается общая схема применения методов конечных элементов к решению многомерных задач математической физики
Оглавление
-
Лекция 8
1 час 1 минута
Методы расщепления
Лекция знакомит с идеями построения экономичных разностных схем для
уравнений математической физики, основанных на методах покомпонентного
расщепления (локально - одномерные схемы) и на принципах расщепления по физическим
процессам
Оглавление
-
Лекция 9
53 минуты
Применение вариационных принципов для построения разностных схем
В необязательной лекции приводятся примеры использования
вариационных принципов Лагранжа и Гамильтона для построения разностных схем на основе вариации дискретного аналога лагранжиана (гамильтониана) системы. В Приложении на примере решения конкретной задачи по проектированию
установки рассмотрены основные схемы распараллеливания численных
методов
Оглавление
-