Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1189 / 240 | Оценка: 4.40 / 4.36 | Длительность: 21:57:00
Специальности: Математик
Лекция 3:

Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа (на примере уравнения переноса)

Аннотация: В лекции дается понятие о простейших разностных схемах для решения линейного уравнения переноса. Приводится вид некоторых часто употребляемых схем. Обсуждаются способы конструирования гибридных разностных схем. Обсуждаются вопросы обобщения на квазилинейный случай. Дается первоначальное представление о способах регуляризации решений с большими градиентами. Вводится понятие схем с уменьшением полной вариации (TVD). Рассматриваются основные идеи метода конструирования разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов
Ключевые слова: уравнениями в частных производных, равенство, линейное уравнение переноса, функция, сток, линейная модель, обыкновенное дифференциальное уравнение, характеристика, однородное уравнение, постоянное значение, квазилинейное уравнение переноса, запись, уравнения газовой динамики, ПО, прямой, закон Ньютона, линейное уравнение, определение, гиперплоскость, значение, пересечение, информация, численное решение уравнений, дивергентная форма, сохранение импульса, задача Коши, устойчивость, шаблон, конфигурация, метод неопределенных коэффициентов, интерполяция, вторая производная, дифференциальное уравнение, обобщение, интеграл, консервативная разностная схема, алгоритм, неявная разностная схема, пространство неопределенных коэффициентов, экстремум, точность, регуляризация, сглаживание, выражение, невязка, операторы, первое дифференциальное приближение, схемная вязкость, сходимость, искусственная вязкость, антидиффузия, гибридные схемы, конечные, коэффициенты, TVD - схемы, отношение, неравенство, класс, аппроксимация, метод трапеций, линейное пространство, пространство, спектральный признак устойчивости, погрешность, максимум, размерность, гипотеза, функциональное пространство, разложение в ряд, производные, вывод, дисперсия, частное решение, связь, расстояние, параметр, целое число, явная разностная схема, дисперсионный анализ, решение дифференциального уравнения, матричная форма

3.1. Простейшее линейное уравнение переноса

Рассмотрим простейший пример уравнений в частных производных. Пусть в некотором объеме движущейся жидкости находится пассивная примесь, т.е. такая, наличие которой не меняет принципиально характер движения. Например, это может быть маркер — краска, чернила или мелкие частицы, которые специально добавлены в жидкость для визуализации течений. Тогда изменение концентрации примеси в любом сколь угодно малом объеме равно потоку примеси через границы объема в единицу времени (закон сохранения массы), и можно записать, устремляя рассматриваемый объем к нулю

$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t} = - {div}(u\mathbf{v}),   $

где u — концентрация пассивной примеси, \mathbf{v} — скорость течения жидкости. Пусть жидкость несжимаема и

{div}\mathbf{v} = 0.

Тогда из двух предыдущих соотношений сразу следует уравнение

$
{\frac{{\partial}u}{{\partial}t} + \mathbf{v} {grad} u = 0}.  $ ( 3.1)

Равенство (3.1) будем в дальнейшем называть уравнением переноса пассивной примеси или линейным уравнением переноса. Кроме (3.1), будем рассматривать и одномерное уравнение переноса

$
{\frac{{\partial}u}{{\partial}t} + c \frac{{\partial}u}{\partial x} = 0},    $ ( 3.2)

а также неоднородное уравнение переноса

$
{\frac{{\partial}u}{{\partial}t} + c \frac{{\partial}u}{{\partial}x} = f, }  $ ( 3.3)

где f — заданная функция, играющая роль источника (стока).

Неоднородным уравнением переноса описываются системы, в которых пассивная примесь может вступать, например, в химические реакции. Если уравнения переноса описывают распространение планктона, то в правой части будет стоять функция, описывающая размножение планктона и его пассивную утечку (например, за счет его поедания рыбами). О неоднородных линейных моделях речь пойдет ниже.

Уравнения вида (3.1), (3.2), (3.3) традиционно рассматриваются в курсах обыкновенных дифференциальных уравнений [13.1], [13.2].

Причина этого кроется в следующем обстоятельстве. Рассмотрим систему ОДУ

\dot{x} = \mathbf{v}, ( 3.4)

соответствующую (3.1). Это — уравнение характеристик для линейного уравнения переноса. Если функция u является первым интегралом (3.4), то она является решением (3.1). Иными словами, вдоль характеристики решение однородного уравнения переноса сохраняет постоянное значение.

Упражнение. Найти в явном виде уравнение характеристики для (3.2). В какое уравнение перейдет неоднородное уравнение переноса (3.3) вдоль характеристики?

Для корректной постановки задач для линейного уравнения переноса начальные и граничные условия необходимо ставить на некоторой гиперповерхности. Так как решение уравнений переноса распространяется вдоль характеристик, то начальная гиперповерхность должна быть трансверсальной ко всем характеристикам (не иметь точек касания с характеристиками ). Кроме того, если для однородного уравнения переноса какая - либо характеристика имеет с начальной гиперповерхностью более одной общей точки, то значения начальной функции во всех этих точках должны быть равны между собой. Все эти условия достаточно очевидны, если вспомнить физический смысл уравнения переноса.

Отметим, что наличие характеристик можно считать условием того, что система имеет гиперболический тип. Так, если система уравнений произвольного порядка n имеет n действительных характеристик, будем называть ее гиперболической. Таким образом, линейное уравнение переноса имеет гиперболический тип.

Алина Мухеева
Алина Мухеева
Россия, г. Магнитогорск