Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1189 / 240 | Оценка: 4.40 / 4.36 | Длительность: 21:57:00
Специальности: Математик
Лекция 7:

Понятие о методах конечных элементов

Аннотация: Лекция дает первое представление о классе методов конечных элементов. Приводятся вариационная и проекционная постановки задачи. Рассматривается применение МКЭ к стационарным и нестационарным задачам. Вкратце обсуждаются вопросы устойчивости методов конечных элементов при решении нестационарных задач. Рассматривается общая схема применения методов конечных элементов к решению многомерных задач математической физики

Основная идея метода конечных элементов, базирующаяся на методах Бубнова, Галеркина и Ритца, была предложена Р.Курантом в 1943 г., но осталась незамеченной, опередив потребности практики. В 50 - х годах прошлого века с появлением первых компьютеров возникла необходимость в разработке новых инженерных подходов к численному решению задач со сложной геометрией, в которых области интегрирования разбивались на подобласти. Такие подобласти ( носители финитных базисных функций, об этом ниже) и получили название конечных элементов.


Рис. 7.1.

Методы конечных элементов (МКЭ) в настоящее время, пожалуй, самые распространенные в мире численные методы. К их достоинствам относятся:

  1. возможность счета на неравномерных сетках, в двумерном и трехмерном случаях для областей сложной геометрии;
  2. "технологичность" методов (уточнение далее).

Современные МКЭ возникли в 50 - е годы XX века при решении задач теории упругости.

Самая распространенная статическая задача — задача о нагруженной конструкции

\Delta u = - 2,    u \left|_{\partial \Omega }\right. = 0,

а область \Omega — сложная. Например, область может иметь вид, представленный на рис. 7.1. Каждая простая подобласть — конечный элемент.

В настоящее время под МКЭ понимают целые семейства вариационных ( Ритца ) и проекционных ( Галеркина или Бубнова - Галеркина ) методов.

7.1. Вариационный подход Ритца

Рассмотрим две задачи:

\begin{gather*}
{\hat{L}_1 u(x) \equiv - (k(x) u^{\prime}_x (x)) ^{\prime}_x + p(x)u(x) = f(x), }\\ 
u(0) = a; \quad  u(X) = b; \\ 
k(x) \ge k_0  > 0; \quad p(x) \ge 0. \\
\end{gather*}  ( 7.1)

\begin{gather*}  
{\hat{L}_2 u(x, y) \equiv -  div  (k(x, y){grad} u(x, y)) + p(x, y)u(x, y) = g(x, y), } \\ 
u \left| {_{{\partial}\Omega }}\right. = {\psi}(l); \\ 
k(x, y) \ge k_0  > 0; \quad  p(x, y) \ge 0.  \end{gather*}  ( 7.2)

Эти задачи похожи: (7.1) является одномерным случаем более общей задачи (7.2). Уравнения (7.1) и (7.2) записаны в самосопряженной форме. Поставим задачам (7.1) и (7.2) в соответствие функционалы

{I_1 (u) = \int\limits_0^{X}{(k(u^{\prime}_x )^2 + pu^2 - 2fu)dx}} ( 7.3)

и

{I_2 (u) = \iint\limits_{\Omega} (k(\nabla u, \nabla u) + pu^2 - 2gu)dxdy.} ( 7.4)

Будем рассматривать пространство функций {w} \in W_2^1 (пространство Соболева) с нормой

\begin{gather*}  \|w \|_{W_2^1}^2 = \int\limits_0^{X}{(w^2 + 
(w^{\prime}_x )^2 )dx} \quad \mbox{для одномерного случая, } \\  
 \|w \|_{W_2^1}^2 = \iint\limits_{\Omega} w^2 dxdy + \iint\limits_{\Omega}{\left(\frac{{\partial}w}{{\partial}x}\right)}^2 + {\left(\frac{{\partial}w}{{\partial}y}\right)}^2 dxdy \quad\\ \mbox{для двумерного случая.}  \end{gather*}

Это — функции с ограниченным интегралом.

Теорема 5. Среди всех функций {w} \in W_2^1, удовлетворяющих граничным условиям, решение задачи (7.1) придает наименьшее значение функционалу (7.3), а решение (7.2) — функционалу (7.4).

Доказательство.

Докажем это утверждение для одномерного случая, а доказательство для уравнений (7.2), (7.4) оставим в качестве упражнений.

Введем \xi (x) \equiv w(x) - u(x). Поскольку {w}(x) \in W_2^1, а u(x) — дважды непрерывно дифференцируемая функция, то \xi (x) \in W_2^1 и \xi (0) = \xi (X) = 0.

\begin{gather*}
I_1 (w) = I_1 (u(x) + \xi (x)) = \\ 
 = I_1 (u) + \int\limits_0^{X}{(k(\xi^{\prime}_x )^2 + p \xi ^2 - 2f \xi )dx} + \int\limits_0^{X}{2(ku^{\prime}_x \xi^{\prime}_x + p \xi u)dx} = \\ 
 = I_1 (u) + \int\limits_0^{X}{(k(\xi^{\prime}_x )^2 + p \xi ^2 )dx} + \int\limits_0^{X}{2 \xi (pu - f)dx} + 2 \int\limits_0^{X}{ku^{\prime}_x \xi^{\prime}_x dx} = \\ 
 = I_1 (u) + J(\xi ) + 2ku^{\prime}_x \xi \left| \begin{array}{l} X \\ 
 0 \\ 
 \end{array}\right. + \int\limits_0^{X}{2 \xi (- (ku^{\prime}_x ) ^{\prime}_x + pu - f)dx, } \\ 
 \mbox{где }{J(\xi ) \equiv \int\limits_0^{X}{(k(\xi^{\prime}_x )^2 + p \xi ^2 )dx} \ge 0.}
\end{gather*} ( 7.5)

Третье слагаемое в (7.5) равно нулю в силу граничных условий для функции \xi ; последнее слагаемое равно нулю, так как u — решение (7.1); второе слагаемое — неотрицательное. Следовательно, минимум функционала I1(w) достигается, когда J(\xi ) = 0, т. е. \xi \equiv 0 или, что то же самое, w(x) = u(x) .

Чуть сложнее эта теорема доказывается для двумерного случая, где надо воспользоваться теоремой Остроградского - Гаусса. Таким образом, решение соответствующей задачи в частных производных (7.2) или краевой задачи для ОДУ (7.1) сводится к задаче минимизации некоторого функционала.

В том случае, если функционал (7.3) или (7.4) ограничен снизу, то экстремаль функционала — минимум, и численный метод, который будет построен ниже, носит название метода Ритца. Чаще, когда нет необходимости тщательно исследовать постановку задачи, говорят об экстремальной точке, стационарной точке функционала и т.д.

Алексей Яковлев
Алексей Яковлев
Россия, Москва, ММИЭИФП (MIFP), 2006