Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1189 / 240 | Оценка: 4.40 / 4.36 | Длительность: 21:57:00
Специальности: Математик
Лекция 9:

Применение вариационных принципов для построения разностных схем

Аннотация: В необязательной лекции приводятся примеры использования вариационных принципов Лагранжа и Гамильтона для построения разностных схем на основе вариации дискретного аналога лагранжиана (гамильтониана) системы. В Приложении на примере решения конкретной задачи по проектированию установки рассмотрены основные схемы распараллеливания численных методов

Вариационный принцип Ритца, позволяющий получить МКЭ для уравнений в частных производных эллиптического типа, в том числе и на нерегулярных сетках, рассматривался в "Понятие о методах конечных элементов" . Далее для решения нестационарных задач в основном использовался проекционный вариант МКЭ (метод Галеркина). Тем не менее, многие задачи математической физики допускают вариационную постановку. Некоторые величины и законы сохранения могут играть особую роль для задач (пример — закон сохранения гамильтониана для консервативной системы). Необходимы разностные схемы (или численные методы), позволяющие учитывать специфику задачи и вариационные постановки.

Сделать это можно двумя способами. Первый — использовать вариационные принципы для дискретных аналогов соответствующих функционалов. При этом обычно получаются консервативные схемы. Второй способ — построение разностных схем обычными методами (конечных разностей), а затем их модификация, направленная на минимизацию погрешности аппроксимации законов сохранения.

Рассмотрим первый (вариационный) подход.

9.1. Пример использования принципа наименьшего действия (Гамильтона)

Рассматривается задача о движении твердого нерастяжимого стержня длиной 1. Пусть он закреплен в точке 0, а на другой конец стержня действует сила {\mathbf{F}}(t) (рис. 9.1). Требуется определить движение стержня. Начальная форма стержня считается заданной.


Рис. 9.1.

Возможное решение: записать уравнение движения — получится уравнение гиперболического типа; поставить граничные условия; построить разностную схему. Но в задаче допускаются сколь угодно большие колебания стержня.

Другой способ приближенного решения. Введем \theta — угол отклонения от оси x — как функцию длины дуги s, времени t. Тогда имеем

\begin{gather*}
x = \int\limits_0^{s}{\cos \theta (s^{\prime}, t)ds^{\prime}}, \\ 
y = \int\limits_0^{s}{{\sin}\theta (s^{\prime}, t)ds^{\prime}}.
\end{gather*}

Кинетическая энергия стержня есть

$  T = \int\limits_0^1 {\left({\frac{{V_x^2}}{2} + \frac{{V_y^2}}{2}}\right)ds} = \frac{1}{2} \int\limits_0^1 {\left({\left[{\frac{{\partial}x}{{\partial}t}}\right]^2 + \left[{\frac{{\partial}y}{{\partial}t}}\right]^2}\right)ds},  $

а потенциальная энергия складывается из упругой энергии (изгиба) и работы внешней силы {\mathbf{F}}(t):

$  U = \int\limits_0^1 {\left({\frac{{{\partial}\theta (s, t)}}
{{{\partial}s}}}\right)^2 ds} - F_x x(1, t) - F_y y(1, t)  $

(соответствующие коэффициенты полагаются равными 1 ).

Лагранжиан системы есть L = T - U, так что

\begin{gather*}
L = \frac{1}{2} \int\limits_0^1 {\int\limits_0^{s}{\{\dot \theta ^2 {\sin}^2
 \theta + \dot \theta ^2 \cos ^2 \theta \} d \xi } ds} - \frac{1}{2} \int\limits_0^1 {\left({\frac{{{\partial}\theta }}{{{\partial}s}}}\right)^2 ds} - \\ 
 - F_x \int\limits_0^1 {\cos \theta ds} - F_y \int\limits_0^1 {{\sin}\theta ds} .
 \end{gather*}

Согласно принципу Гамильтона, функционал действия достигает экстремального значения на истинном движении. Отсюда следует, что

$ \frac{d}{dt} \left({\frac{{{\partial}L}}{{{\partial}\dot \theta }}}
\right) - \frac{{{\partial}L}}{{{\partial}\theta }} = 0  $

и получается уравнение движения для \theta:

\begin{gather*}
 \int\limits_0^1 {G \cos (\theta (s, t) - \theta ({\sigma}, t)) \ddot  \theta ({\sigma}, t)d {\sigma}} = {\theta}^{\prime\prime}(s, t) + F_y {\sin}\theta - F_x \cos \theta - \\ 
 - \int\limits_0^1 {G {\sin}(\theta (s, t) - \theta ({\sigma}, t)) \dot \theta ^2 ({\sigma}, t)d {\sigma}} . \\ 
 \theta (0, t) = 0; \quad \theta^{\prime}(0, t) = 0; \\ 
G(s, {\sigma}) = \left\{ \begin{array}{ccc}
 {1 - s;} & {{\sigma} < s, } & {0 \le s \le 1;} \\  
 {1 - {\sigma};} & {s \le {\sigma}, } & {0 \le {\sigma}\le 1.} \\
\end{array} \right.
 \end{gather*}
Анастасия Кулагина
Анастасия Кулагина
Россия, г. Москва