Численные методы решения уравнений в частных производных
[+]
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1279 / 290 | Оценка: 4.40 / 4.36 | Длительность: 21:57:00
Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика
Специальности: Математик
Теги: beta, алгоритмы, вторая производная, вычисления, диффузия, задача Коши, законы, искусственная жизнь, исследования, моделирование, невязка, обыкновенное дифференциальное уравнение, однородное уравнение, параллельные вычисления, потоки, собственный вектор, уравнения газовой динамики, уравнениями в частных производных, численное решение уравнений, элементы
Лекция 6:

Численное решение уравнений в частных производных эллиптического типа на примере уравнений Лапласа и Пуассона
A
|
версия для печати
< Лекция 5 || Лекция 6: 123456789101112 || Лекция 7 >

6.2.2. Метод простых итераций с оптимальным параметром

Представим сеточную функцию невязки r_{ml}^0, равную нулю на границе, в виде разложения по базису из собственных функций разностного оператора ( {\Psi}_{ml}^{pq} — собственные функции оператора \mathbf{\Lambda} )

r_{ml}^{0} = \sum\limits_{pq}{c_{pq}{\Psi}_{ml}^{pq}}, c_{pq} = (r^0_{ml}, {\Psi}_{ml}^{pq}),

при этом выполняется равенство Парсеваля

\left\| {r_{ml}^0}\right\| = (r^0, r^0) = \sqrt{\sum\limits_{pq}{c_{pq}^2}} = \left\|{c}\right\|.

Далее, используя это разложение, получим

\begin{gather*} r^1 = ({\mathbf{E}} + \tau{\mathbf{\Lambda}})r^0 = ({\mathbf{E}} +{\tau}{\mathbf{\Lambda}}) \sum\limits_{pq}{c_{pq} {{\Psi}}^{pq}} = \\ = \sum\limits_{pq}{c_{pq}} ({\mathbf{E}} +{\tau}{\mathbf{\Lambda}}) {{\Psi}}^{pq} = \sum\limits_{pq}{c_{pq}} (1 -{\tau}{\lambda}^{pq}) {{\Psi}}^{pq}. \end{gather*}

Здесь используется то, что (1 -{\tau}{\lambda}^{pq}) являются собственными числами оператора ({\mathbf{E}} +{\tau}{\mathbf{\Lambda}}). При сложении равенств {\tau}{\mathbf{\Lambda}} \varphi_m^{p} = -{\tau} \lambda \varphi_m^{p} и {\mathbf{E}} \varphi_m^{p} = \varphi_m^{p} получаем ({\mathbf{E}} +{\tau}{\mathbf{\Lambda}}) \varphi_m^{p} = (1 - \tau {\lambda}) \varphi_m^{p} . Легко получается оценка нормы этой сеточной функции на первой итерации:

\left\| {v^1}\right\| = \sqrt{\sum {c_{pq}^2 (1 - \tau {\lambda}^{pq})^2}} \le \max\limits_{{\lambda}\in [l, L]} \left| {1 -{\tau}{\lambda}}\right| \sqrt{\sum {c_{pq}^2}} = \max\limits_{{\lambda}\in [l, L]} \left| {1 -{\tau}{\lambda}}\right| \left\| {{\mathbf{R}}^0}\right\|.

Для последовательности итераций также легко получается стандартная оценка нормы

\left\| {{\mathbf{r}}^{i}}\right\| \le (\max\limits_{{\lambda}\in [l, L]} \left| {1 -{\tau}{\lambda}}\right|)^{i} \left\| {{\mathbf{r}}^{0}}\right\|.

Отсюда видно, что значение q вычисляется, как \max \{| 1 - {\tau}l |, | 1 -{\tau}L | \}, а условие сходимости q < 1 выполняется при 0 < \tau < 2/L. Границы спектра разностного оператора уже оценены в предыдущем пункте.

Для определения параметра \tau, обеспечивающего максимальную скорость сходимости, необходимо решать следующую оптимизационную задачу:

\min\limits_{\tau} (\max\limits_{{\lambda} \in [l, L]} \left|{1 -{\tau}{\lambda}}\right|).

Так как max\ | 1 - \tau \lambda | достигается на правой или левой границе интервала [l, L], то выполняется равенство \max\limits_{{\lambda}\in [l, L]} \left| {1 -{\tau}{\lambda}}\right| = \max \{\left| {1 -{\tau}l}\right|, \left| {1 -{\tau}L}\right| \} . В таком случае необходимо определить \tau, при котором достигается \min\limits_{\tau}\left\{{\max (\left| {1 -{\tau}l}\right|, \left| {1 -{\tau}L}\right|)}\right\}, или \tau_0 = \arg [\min\limits_{\tau}\max (\left| {1 - \tau l}\right|, \left| {1 -{\tau}L}\right|)]. где \tau _{0} — оптимальный итерационный параметр.


Рис. 6.1.

Как показано на рис. 6.1, \min\limits_{\tau}\max (\left| {1 -{\tau}l}\right|, \left|{1 -{\tau}L}\right|) достигается при | 1 -\tau l | = | 1 -\tau L |. Справа от точки B при любых \tau максимальна функция | 1 - \tau L |, слева — функция | 1 -\tau l |, и тогда минимум от искомого максимума достигается в точке B. Отсюда получим 1 - \tau l = - (1 - \tau L). Следовательно, значение оптимального итерационного параметра \tau _{0} равно

$ \tau_0 = \frac{2}{l + L} $
.

Оптимальное значение функции, отвечающей за скорость сходимости, будет

\begin{multline*} q_0 = q(\tau_0 ) = 1 - \tau_0 l = 1 - \frac{2}{{L + l}} \cdot l = \frac{{L - l}}{{L + l}} = \\ = \frac{{1 - {\mu}^{- 1}}}{{1 + {\mu}^{- 1}}} = \frac{{1 + {\mu}^{- 1} - 2 {\mu}^{- 1}}}{{1 + {{\mu}} ^{- 1}}} \approx 1 - 2 {\mu}^{- 1}, \end{multline*}

где \mu = L/l — число обусловленности системы сеточных уравнений.

Количество итераций, соответствующее этому методу, легко оценивается:

$ i = \left[{\frac{{\ln {\varepsilon}}}{{\ln q}}}\right] + 1 = \left[{\frac{{\ln {\varepsilon}}}{{\ln (1 - 2l/L)}}}\right] + 1 \approx \left[\frac{\ln {\varepsilon}}{(- 2l/L)} + 1 \approx \frac{L}{2l} \ln {\varepsilon}^{- 1} + 1\right]. $

Пусть расчеты приводятся с точностью \varepsilon = 10^{ - 5} на сетке 100 x 100, тогда оценка числа итераций дает при l \approx 2 {\pi}^2 и L = 8N2

$ i \approx \frac{8N^2}{2 \cdot 2 {\pi}^2} \ln 10^5 \approx \approx 2 \cdot 10^4 $
итераций.

Показатель сходимости q_{0} = 1 - 2\mu ^{ - 1} \setminus approx\ 0, 9995.

Параметр \mu = L/l — число обусловленности матрицы; чем оно больше, тем медленнее сходятся итерации. Напомним, что в n - мерном линейном нормированном пространстве Ln вводятся три наиболее употребительных нормы вектора:

\begin{gather*} \left\| {\mathbf{u}}\right\|_1 = \max\limits_i {\left| {{\mathbf{u}}_i }\right|}, i = 1, \ldots , n, \\ \left\| {\mathbf{u}}\right\|_2 = \sum\limits_{i = 1}^{N}{\left| {{\mathbf{u}}_i }\right|}, \\ \left\| {\mathbf{u}}\right\|_3 = \sqrt{\sum\limits_{i = 1}^{n}{\left| {{\mathbf{u}}_i } \right|^2}} = \sqrt{({\mathbf{u}}, {\mathbf{u}})}, \end{gather*}

которым, в соответствии с определением согласованной нормы матрицы \mathbf{A}

$ \left\| A\right\| = \sup\limits_{u \in }\frac{{\left\| {A{\mathbf{u}}} \right\|}}{{\left\| {\mathbf{u}}\right\|}}, $

сопоставляются нормы матрицы \mathbf{A} с элементами aij:

\begin{gather*} \left\| {\mathbf{A}}\right\|_1 = \max\limits_i \sum\limits_{j = 1}^{n} {\left| {a_{ij}}\right|}, \\ \left\| {\mathbf{A}}\right\|_2 = \max\limits_j \sum\limits_{i = 1}^{n}{\left| {a_{ij}}\right|}, \\ \left\| {\mathbf{A}}\right\|_3 = \sqrt{\max\limits_i {\lambda}^{i}({\mathbf{A}}*{ \mathbf{A}})}. \end{gather*}

Показывается, что для симметричной матрицы \mathbf{A} число обусловленности \mu может быть представлено в третьей норме:

$ {\mu}= \frac{{\max\limits_i \left| {\lambda_{\mathbf{A}}^{i}}\right|}} {{\min\limits_i \left| {\lambda_{\mathbf{A}}^{i}}\right|}} = \frac{L}{l}. $

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема.Рассмотрим итерационный метод u_{ml}^{i + 1} = u_{ml}^{i} +{\tau}({\mathbf{\Lambda}}u_{ml}^{i} - f_{ml}), с оператором $ \mathbf{\Lambda} = \mathbf{\Lambda^ *} > 0 $ для численного решения разностного аналога уравнения Пуассона

$ \frac{{{\partial}^2 u}}{{{\partial}x^2}} + \frac{{{\partial}^2 u}}{{{\partial}y^2}} = f(x, y) $
с помощью аппроксимирующей его разностной схемы

{\mathbf{\Lambda}}u_{ml} = f_{ml}.

Пусть l и L — минимальное и максимальное собственные числа оператора \mathbf{\Lambda} соответственно.

Если итерационный параметр \tau удовлетворяет условию 0 < \tau < 2/L, то последовательность итераций ui сходится к проекции решения исходного дифференциального уравнения, причем выполнено неравенство {\left\| {v^{i}}\right\| \le q^{i} \left\|{v^0 }\right\|}, где параметр 0 < q < 1 определяется следующим образом:

q = \max \left\{{\left| {1 -{\tau}l}\right|, \left| {1 - \tau L}\right|}\right\}.

Параметр q принимает наименьшее значение q0 при

${\tau} = \tau_0 = \frac{2}{{L + l}}. $

При этом

$ q_0 = \frac{1 - l/L}{1 + l/L} \approx 1 - 2 \frac{l}{L}. $

Дальше >>
< Лекция 5 || Лекция 6: 123456789101112 || Лекция 7 >

Вопросы и ответы

вопросов: 0