Численное решение уравнений в частных производных эллиптического типа на примере уравнений Лапласа и Пуассона
6.2. Методы решения сеточных уравнений
При решении эллиптических систем существенная часть вычислительной работы — решение возникающих сеточных уравнений. Фактически для нахождения сеточной функции решения надо получить решение системы линейных уравнений большой размерности с разреженной матрицей специального вида. При аппроксимации уравнения Лапласа или Пуассона на регулярных сетках матрица системы самосопряженная. Методы решения таких систем рассмотрим ниже. Перед чтением данного раздела рекомендуется просмотреть лекцию 2 курса "Введение в вычислительную математику".
6.2.1. Метод простых итераций
Наиболее эффективные алгоритмы для численного решения полученной СЛАУ — итерационные. Действительно, прямые методы требуют вычисления обратной матрицы, обратная матрица получается заполненной. Пусть — начальное приближение, выбирать которое желательно как можно ближе к
искомому решению,
— последующие приближения. Верхний индекс в данных обозначениях указывает номер итерации.
Если выполняется условие

где uml — проекция точного решения на сетку, то итерационный метод является сходящимся. Оценка сходимости при этом может быть получена в виде

где C — константа, 0 < q < 1. Итерации
продолжаются до тех пор, пока не выполнено условие , где
—
заданная точность. В таком случае можно оценить количество итераций, необходимое для достижения этой точности
. Квадратные скобки в этой записи — операция взятия целой части числа.
Метод простых итераций записывается для системы сеточных уравнений в следующем
виде: , если точка принадлежит внутренней части сеточной области, и
если точка с индексами ml принадлежит границе сеточной области. Здесь
,
—
итерационный параметр. Количество арифметических операций при реализации метода простых итераций
.
Получим формулу для эволюции погрешности. Вычтем из итерационной формулы очевидное тождество
во внутренних точках, а из равенства
вычтем тождество
в граничных узлах. Тогда получим
, во внутренних и граничных
узлах соответственно. Здесь
— невязка на i итерации.
В таком случае для сеточной функции невязки rml, равной нулю на границе, ее эволюция описывается уравнением

Для оценки сходимости итерационного процесса необходимо перейти к неравенству для норм, например евклидовых, и оценить норму оператора перехода

откуда получим

Наиболее простым для этих целей является метод Фурье (или спектральный анализ оператора перехода).
Непосредственной проверкой доказываются два следующих утверждения. Семейство функций



Здесь p — номер собственного значения (собственной функции), m — номер сеточного узла; p = 1, ... , M - 1.
Для этого необходимо непосредственной подстановкой убедиться в истинности равенства

или
![$ \frac{1}{{h^2}} \left[{{\sin}\frac{{(m - 1)p {\pi}}}{M}- 2 \sin
\frac{{mp {\pi}}}{M} + {\sin}\frac{{(m + 1)p {\pi}}}{M}}\right] = \left({- \frac{4}{{h^2}} {\sin}^2 \frac{{p {\pi}}}{{2M}}}\right) \sin \left({\frac{{mp {\pi}}}{M}}\right). $](/sites/default/files/tex_cache/33db3b89a444b30d1ca17022aeb73d1b.png)
Семейство функций является собственными функциями оператора
соответствующие
собственные значения есть

Равенство также проверяется непосредственной подстановкой.
В дальнейшем необходимо будет знать границы спектра



Для имеем
, где
. Легко также оценить число обусловленности системы сеточных уравнений.