Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1275 / 290 | Оценка: 4.40 / 4.36 | Длительность: 21:57:00
Специальности: Математик
Лекция 6:

Численное решение уравнений в частных производных эллиптического типа на примере уравнений Лапласа и Пуассона

6.8. Задачи для самостоятельного решения

  1. Будем рассматривать только частные типы краевых задач для поля \varphi, зависящего от двух пространственных переменных (x, y), удовлетворяющего уравнению

    $ \left({\frac{{\partial}^2}{{\partial} x^2} +  \frac{{\partial}^2}{{\partial} y^2}}\right) {\varphi} = - S(x, y).  $

    В задачах электростатики \varphi — это потенциал, а S соответствует плотности заряда; в стационарной тепловой задаче \varphi — температура, S — локальная скорость выделения или поглощения тепла. Будут рассматриваться граничные условия Дирихле, в которых значения \varphi задаются на некоторой замкнутой кривой в плоскости (x, y) и, возможно, на некоторых дополнительных кривых внутри области.

    Реализовать численные алгоритмы, основанные на:

    • непосредственной аппроксимации дифференциального оператора и решении системы сеточных уравнений методом Гаусса;
    • применении итерационного алгоритма.
      • Для уравнения Лапласа, S(x, y) \equiv 0, рассмотреть численное решение для простейших граничных условий (типа констант или линейных функций).
      • Для уравнения Пуассона вычислить разность потенциалов между двумя зарядами как функцию расстояния между ними и сравнить полученные значения с аналитическими.
      • Изменить программу так, чтобы можно было задавать на некоторых внешних и внутренних границах условия Неймана. Изучить решения с такими граничными условиями.
      • Вместо граничных условий Дирихле задаются периодические граничные условия. Тогда потенциалы на левой и правой, а также на верхней и нижней границах области произвольные, но равные по величине друг другу. Т.е. для всех i и j \varphi_{i1} = \varphi_{iN} ;  \varphi_{1j} = \varphi_{Nj}. Уравнения с такими условиями описывают пространственно - периодическое распределение плотности заряда в кристалле. Модифицировать программу и решить уравнение Пуассона с этими граничными условиями.
  2. Для решения приведенной выше задачи с различными граничными условиями реализовать алгоритм быстрого дискретного преобразования Фурье (алгоритмы такого преобразования описаны, например, в [16.4], [16.8]).
  3. Модель малярной кисти Подробнее об этой задаче и других примерах установившихся течений жидкости в [16.13, С. 232 - 240].

    При окраске стены кистью, часть краски остается на стенке в виде слоя за кистью. Рассмотрим приближенную модель процесса. Предположим, что кисть состоит из большого числа параллельных и равноотстоящих друг от друга пластин, которые совместно скользят по плоской стенке, в направлении их контакта со стенкой вдоль оси x. Предположим, что пластины имеют бесконечные размеры в направлениях осей x и z, так что результирующее движение представляет собой установившееся течение одного направления. Уравнение движения имеет вид

    $ \frac{{\partial}^2 u}{{\partial}y^2} + \frac{{\partial}^2 u}{{\partial}z^2} = 0.  $

    Здесь u — скорость течения жидкости.

    Оси координат удобно связать с пластинами, тогда граничные условия для течения в канале между двумя соседними пластинами будут

    \begin{gather*}  u = 0 \mbox{ при } y = 0 \mbox{ и }y = b,\quad 0 < z < \infty, \\ 
u = U \mbox{ при } z = 0, \quad 0 < y < b.  \end{gather*}
    • Получить численное решение поставленной задачи. Сравнить результат с точным решением

      $  u(y, z) = \frac{4U}{\pi} \sum\limits_{n \atop 
 \mbox{нечетное}} \frac{1}{n} e^{- n {\pi}z/b} \sin{\frac{n {\pi}y}{b}}.  $

      Объяснить, как реализован алгоритм для вычисления значений функции точного решения.

    • Получить оценку толщины слоя жидкости, который будет оставаться на стенке позади кисти, при предположении, что все пластины имеют заднюю кромку при одном и том же значении x. Использовать формулу для объемного расхода жидкости, вытекающей из одного канала:
      Q = \int\limits_0^{b}{\int\limits_0^{\infty} {udydz}} .
      Сравнить со значением для точного решения Q = AUb^{2},\ A \approx  0, 27.
    • Указать недостатки рассмотренной модели. Определить характер их влияния на решение.
  4. Стационарное движение несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрических трубах

    Рассмотрим движение несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрической трубе произвольного поперечного сечения. Обозначая градиент давления

    $ \frac{{\partial}p}{{\partial} x} = - G(t),  $
    получим уравнение движения в виде
    $ \frac{{\partial}^2 u}{{\partial}y^2} + \frac{{\partial}^2 u}{{\partial}z^2} = - \frac{G}{{\mu}}  $
    , где \mu — коэффициент вязкости, u — скорость течения жидкости. Требуется решить уравнение, подчиняющееся граничным условиям, с помощью которых задаются градиент давления и значения u при определенных y и z.

    • Решить задачу для трубы круглого поперечного сечения, для которой u = 0 на границе трубы, т.е. при $ r = \sqrt{y^2 + z^2} = a $. Сравнить численные результаты с точным решением
      $  u = \frac{G}{4 {\mu}}(a^2 - r^2 ) $
      . Получить численно величину объемного расхода жидкости через произвольное сечение
      $ Q = \int\limits_0^{a}{u2 {\pi}rdr} $
      , сравнить ее с точным значением
      $  Q = \frac{{\pi}a^4 G}{8 {\mu}}  $
      . Предложить, как можно использовать данную величину для контроля точности численного расчета.
    • Получить решение задачи для трубы эллиптического поперечного сечения с полуосями B (по оси y ) и C (вдоль оси z ). Сравнить результат численного решения с точным распределением скорости
      $  u(y, z) = \frac{G}{{2 {\mu}(b^{- 2} + c^{- 2})}} \left({1 - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2}}\right).  $

      Самостоятельно вывести величину объемного расхода жидкости и сравнить ее точное значение с численными данными.

    • Вычислить распределение скорости в трубе прямоугольного поперечного сечения со сторонами y = mb, z = mc (для определенности пусть c > b ). Получить точное решение для скорости и расхода, сравнить его с численным значением.

      Указание. Для получения точного решения учесть, что разность

      $  u - \frac{G}{2} \frac{b^2 - y^2}{{\mu}}  $
      представляет собой четную функцию как от y, так и от z, которая удовлетворяет уравнению Лапласа и равна 0 при y = mb.

  5. Гравитационные волны

    Примером нестационарных течений жидкости являются волновые движения с колебаниями отдельных частиц. Рассмотрим волны на поверхности жидкости, возникающие в результате того, что поверхность выведена из состояния равновесия и колеблется под действием силы тяжести. Такие волны называются гравитационными. Гравитационные волны описываются уравнениями нестационарных течений идеальной несжимаемой жидкости.

    Пусть начальное возмущение заключается в отклонении жидкости от состояния равновесия. Предположим, что этим начальным возмущением являются мгновенные добавочные давления, вызванные, например, порывом ветра. Возникающие при этом движения будут потенциальны: {\mathbf{V}} = \nabla {\varphi}. Уравнение неразрывности обращается в уравнение Лапласа:

    \Delta {\varphi} = 0.

    Уравнения движения Эйлера приводятся к интегралу Коши - Лагранжа следующего вида:

    $ \frac{{{\partial}{\varphi}}}{{{\partial} t}} + \frac{{v^2}}{2} + 
 \frac{p}{{\rho}} + gz = f(t),  $

    где gz представляет собой потенциал сил тяжести.

    Пусть течение медленное, тогда квадратом скорости в последнем уравнении можно пренебречь. Кроме того, так как \varphi определяется с точностью до произвольной функции, зависящей от времени, то это уравнение можно переписать в виде

    $ \frac{p}{{\rho}} = - \frac{{\partial}{\varphi}}{{\partial}t} - 
gz \mbox{ при } z = 0.  $

    Граничные условия. Предположим, что жидкость ограничена снизу непроницаемой поверхностью. На этой поверхности ставим условие непроницаемости на нормальный компонент скорости:

    $  V_n = \frac{{\partial}{\varphi}}{{\partial}n} = 0.  $
    Свободная поверхность (граница жидкости с газом) будет плоскостью, которую примем за координатную плоскость xy. На свободной поверхности жидкости давление p равно давлению газа над жидкостью (p_0). Граничное условие для скорости на свободной поверхности

    $  V_{z} = \frac{{\partial}{\varphi}}{{\partial}z} = 
 - \frac{1}{g} \frac{{\partial}^2 {\varphi}}{{\partial}t^2} \mbox{ при }  z = 0.  $

    Начальные условия. Пусть возмущенная поверхность в начальный момент (t = 0) определяется уравнением z = f(x, y). Тогда при t = 0, z = 0 справедливо соотношение

    $ \frac{{\partial}{\varphi}}{{\partial} t} = - gf(x, y).  $
    Начальные скорости возникают в результате действия импульса давления, равного \int\limits_0^{\tau} {pd{\tau}}. Потенциал скорости в начальный момент можно представить в виде

    $ {\varphi} = - \frac{1}{{\rho}}f_1 (x, y).  $

    Плоские волны. Рассмотрим волновое движение, называемое плоскими волнами. В этом случае свободная поверхность будет представлять собой илиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси y. Пусть жидкость ограничена плоским горизонтальным дном, отстоящим от свободной поверхности на расстояние h. Тогда для искомого потенциала скорости \varphi(x, z, t) справедливы соотношения

    \begin{gather*}   \frac{{{\partial}^2 {\varphi}}}{{{\partial} x^2}} + 
 \frac{{{\partial}^2 {\varphi}}}{{{\partial} z^2}} = 0, \\ 
 \left({\frac{{{\partial}{\varphi}}}{{{\partial} z}}}\right)_{z = - h} = 0, \\ 
 \frac{{{\partial}^2 {\varphi}(x, 0, t)}}{{{\partial} t^2}} + g \frac{{{\partial}{\varphi}
 (x, 0, t)}}{{{\partial} z}} = 0.    \end{gather*}

    Начальные условия заменим требованием периодичности по времени t и координате x искомого решения.

    • Построить аналитическое решение поставленной задачи, представив искомую функцию в виде {\varphi} = \theta (t)X(x)Z(z). Показать, что полученное решение — результат наложения четырех колебаний.
    • Получить численное решение и сравнить его с аналитическим.

      Определить профиль волны \zeta (x, y, t), используя соотношение

      $ \zeta = - \frac{1}{g} \frac{{{\partial}{\varphi}(x, y, t)}}{{{\partial} t}}.  $

    Прогрессивные волны. Провести численное исследование частного случая плоских волновых движений, который определяется потенциалом скорости вида

    {\varphi} = Ae^{kz} \cos (kx - \sigma t).

    Профиль волны в этом случае имеет вид

    $ \zeta = - \frac{{A {\sigma}}}{g} {\sin}(kx - \sigma t).  $

    Описать основные закономерности рассматриваемого движения жидкости. Чему равен период волны, частота колебаний? Вывести формулу для траекторий частиц жидкости и сравнить ее на графике с траекторией, получаемой в численном решении.