Лекция 1: Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость
По доказанной ранее теореме, данная схема устойчива по начальным данным в в случае, если
Тогда, в энергетической норме, порождаемой оператором , схема Кранка - Николсон безусловно устойчива.
Схема с весами. Можно действовать также, как и для схемы Кранка - Николсон , а можно несколько иначе. Для общей записи схемы с весами
иногда употребляется сокращенная форма
Умножив это разностное уравнение на слева, получаем:
Тогда необходимое и достаточное условие устойчивости в норме, порождаемой оператором (т.е. в евклидовой норме)
Так как , домножим обе части последнего неравенства на , тогда — условие устойчивости схемы с весами.
Следствие. Неявная схема безусловно устойчива в норме ||.|| = (., .)1/2 (аналог нормы L2 ).
Докажем теперь, что из равномерной устойчивости однородной разностной схемы следует устойчивость по правой части.
Рассмотрим уравнение
Умножив это равенство скалярно на получим
(это — энергетическое множество для неоднородного уравнения). Кроме того,
(аналог неравенства Коши - Буняковского).
Теперь используем - неравенство
тогда получаем
Выбираем
, тогда можно написатьПусть
не зависит от сеточных параметровполучаем
Откуда сразу следует
( 1.9) |
Таким образом, для неоднородной разностной схемы доказана следующая теорема.
Теорема. Для разностной схемы вида
где — постоянный (т.е. не зависящий явно от n ) положительно определенный самосопряженный оператор, а удовлетворяет условию
где не зависит от сеточных параметров , выполнена априорная оценка (1.9).
Вообще, в силу того, что разностная схема устойчива по начальным данным при , из равномерной устойчивости по начальным данным следует устойчивость по правой части.
Так как , то , тогда
или
где — оператор послойного перехода.
Равномерная устойчивость по начальным данным означает, что . Тогда из предыдущего равенства с использованием неравенства треугольника получим
Применяя оценку n раз , получим априорную оценку для устойчивости по правой части с использованием энергетической нормы, порождаемой оператором :
Теперь попробуем обобщить полученные результаты на случай операторов , зависящих от времени.
Для начала рассмотрим аппроксимацию типа Кранка - Николсона
при этом . Самый простой способ рассмотрения этого уравнения — разрешить его (в операторном виде) относительно
Оценим . Воспользуемся тем, что
Факт, что , носит название леммы Келлога.
Для сеточной функции используем норму . Подобный результат уже был получен при постоянном (не зависящем от времени) .
Везде в доказательствах существенную роль играет то, что Может получиться так, что , но :
В этом случае многие свойства разностных схем аналогичны доказанным выше.
Может быть так, что . Тогда
в силу кососимметричности оператора . Например: