Лекция 1: Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость
1.3. Элементы теории устойчивости разностных схем
Канонической формой двухслойной линейной разностной схемы называется ее запись в виде
( 1.1) |
и — операторы, действующие в . Рассматриваем случай , когда для этих операторов выполнено условие , где — положительное число, — произвольный ненулевой элемент пространства сеточных функций. Тогда оператор называется положительным, записывается . Требуем и . Пока не оговорено иное, рассматриваем случаи самосопряженных операторов.
Если , то разностная схема называется явной. Рассмотрим для примера разностную схему с весами для одномерного уравнения теплопроводности
где
В случае эта схема называется схемой Кранка - Никольсон. Для записи схемы с весами в каноническом виде положим
и, обозначив получим форму записи
где .В случае неравномерной сетки каноническая форма записи схемы будет
( 1.2) |
Иногда схему с весами записывают в виде
Заметим, что канонический вид разностной схемы аналогичен итерационному методу решения СЛАУ . Эта аналогия не является формальной — переход от СЛАУ к итерационному методу (1.1) может быть интерпретирован , как замена стационарного уравнения нестационарным. Решение последнего при стационарных граничных условиях стремится к решению стационарного при стремлении времени к бесконечности.
Отличие состоит в том, что в последнем случае операторы и функция не зависят от n и итерационный параметр не обязательно должен стремиться к нулю.
Введем величину — энергию оператора , а также энергетическую норму вектора:
Говорят, что эта норма порождается оператором .
Рассматривается задача Коши для оператора — однородного разностного уравнения (1.1); .
Дадим два определения.
Определение 6. Разностная схема (1.1) устойчива по начальным данным, если для решения (1.1) выполняется оценка:
( 1.3) |
причем константа M1 не зависит от сеточных параметров.
Будем рассматривать также неоднородное уравнение, соответствующее (1.1):
( 1.4) |
Определение7. Говорят, что разностная схема (1.4) устойчива по правой части, если для решения (1.4) в любой момент времени выполняется условие
( 1.5) |
причем константа M2 не зависит от сеточных параметров.
Определение 8. Разностная схема (1.1) равномерно устойчива по начальным данным в энергетической норме, порождаемой некоторым оператором , если выполнено:
и при этом , и M1 не зависят от сеточных параметров.
Обычно рассматриваются случаи или , M1 = ecT.
Если разностную схему в каноничной форме представить в виде
то оператор называется оператором послойного перехода разностной схемы (1.1). Нетрудно заметить, что условие равномерной устойчивости по начальным данным эквивалентно ограничению нормы оператора : , а в силу условия и ограниченности норм степеней оператора : .
Для оценки нормы оператора можно воспользоваться собственными значениями этого оператора — корнями уравнения .
Если — собственное значение, а — соответствующий ему собственный вектор, то . Поэтому , откуда , так как .
Последнее неравенство должно выполняться при любом n. Оно невыполнимо, если с увеличением n будет неограниченно расти, так как . Этого не произойдет, если на будет наложено условие , константа C не зависит от сеточных параметров , . Последнее условие называется необходимым спектральным признаком устойчивости (признак фон Неймана).
Рассмотрим разностную задачу Коши для линейного уравнения переноса
где
Условие ее устойчивости записывается в виде неравенства
Для однородного уравнения переноса это условие принимает вид
Последнее неравенство означает устойчивость разностной схемы по начальным данным. Оно должно выполняться, в частности, в случае, если является произвольной гармоникой при представлении начальных условий в виде ряда Фурье (важно лишь знать, будет ли эта гармоника неограниченно расти по времени). Возьмем в качестве начального условия произвольную гармонику , где — вещественный параметр.
Решение однородной разностной задачи в этом случае ищется с помощью метода разделения переменных. На каждом временном слое решение разностной задачи ищется как произведение .
Спектр оператора послойного перехода легко ищется подстановкой в разностное уравнение. Например, для однородного уравнения переноса с постоянными коэффициентами после преобразований , где — безразмерный параметр — число Куранта (в числитель дроби входит скорость переноса, которая в рассматриваемой задаче равна единице). Для спектра оператора перехода имеем .
Для решения вида справедливо , или , поэтому для выполнения условия устойчивости необходимо выполнение неравенства .
Константа в правой части последнего неравенства не зависит от сеточных параметров.
Спектральным признаком это условие называется потому, что каждая гармоника является собственной функцией оператора послойного перехода . В частности, для рассмотренного выше примера с уравнением переноса .
Множество точек на комплексной плоскости состоит из собственных значений оператора перехода — спектр оператора. При этом считаем . Сформулируем теперь спектральный признак устойчивости в этих терминах. Спектр оператора перехода с n на n + 1 временной слой должен лежать в круге радиуса на комплексной плоскости.
В приведенном примере спектр оператора не зависит явно от поэтому условие устойчивости может быть записано в виде .
Такое условие иногда называется условием строгой устойчивости. В [11.6] показано, что строго устойчивые схемы можно построить лишь для таких дифференциальных задач , для которых справедлив принцип максимума, т.е. максимальное и минимальное значения решение дифференциальной задачи принимает на границе расчетной области.
Вернемся к модельному уравнению переноса. В данном случае спектр представляет собой окружность с центром в точке и радиусом на комплексной плоскости. При эта окружность лежит внутри единичного круга, касаясь его в точке , при совпадает с единичной окружностью, при находится вне единичного круга.
Приведем еще один пример исследования на устойчивость разностной задачи:
Эта схема аппроксимирует задачу Коши для уравнения теплопроводности.
После подстановки решения в виде гармоники Фурье, умноженной на коэффициент перехода, в разностное уравнение, получим уравнение для спектра оператора послойного перехода