Лекция 1: Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость
Можно формально умножить правую и левую части (1.13) на i и воспользоваться приведенными выше результатами. Получим, что в случае схема устойчива, а при возникает условие устойчивости вида
Так как
то окончательно получаем условиегде c2 — константа, определяющая - устойчивость схемы. При этом погрешности все равно экспоненциально возрастают! В энергетической норме условие устойчивости будет
которое не выполняется при любом Следовательно, в энергетической норме устойчивых разностных схем для уравнения Шредингера при нет.
Рассмотрим разностную схему
Здесь
трехдиагональная матрица; оператор кососимметрический.В случае схема устойчива. При имеем условие устойчивости
но ошибки все же экспоненциально возрастают как , где k — число Куранта. По спектральному признаку при схема неустойчива.
Очевидно, что для уравнения Шредингера нет устойчивых схем в случае и при использовании метода конечных элементов. Действительно, будем рассматривать дискретную схему
где . Условие устойчивости в энергетической норме приведет к операторному неравенству вида
В силу положительности , приходим к противоречию
В завершение экскурса в теорию устойчивости разностных схем рассмотрим разностную схему более общего вида:Пусть, как и ранее, выполнено условие самосопряженности
Введем энергетические нормы, зависящие от времени:
Воспользуемся введенным ранее энергетическим тождеством:
Учтем, что
в силу Липшиц - непрерывности. Тогда получаем
Теперь если
то при сразу имеемОтсюда и следует устойчивость: из энергетического тождества при n = 1 получим, что схема устойчива по начальным данным. Устойчивость по правой части будет следовать из устойчивости по начальным данным.
Таким образом, случай операторов , зависящих от времени, принципиально не отличается от случая постоянных операторов , лишь нормы устроены несколько по - другому.
Аналогичные теории строятся и для трехслойных разностных схем, условия устойчивости также получаются на основе энергетических тождеств в виде операторных неравенств.