Численные методы решения уравнений в частных производных
[+]
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1279 / 290 | Оценка: 4.40 / 4.36 | Длительность: 21:57:00
Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика
Специальности: Математик
Теги: beta, алгоритмы, вторая производная, вычисления, диффузия, задача Коши, законы, искусственная жизнь, исследования, моделирование, невязка, обыкновенное дифференциальное уравнение, однородное уравнение, параллельные вычисления, потоки, собственный вектор, уравнения газовой динамики, уравнениями в частных производных, численное решение уравнений, элементы

Лекция 1: Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость

A
|
версия для печати
Лекция 1: 1234567891011 || Лекция 2 >

Можно формально умножить правую и левую части (1.13) на i и воспользоваться приведенными выше результатами. Получим, что в случае {\sigma}\ge 0, 5 схема устойчива, а при \sigma < 0, 5 возникает условие устойчивости вида

$ \frac{\tau}{4}\|{\mathbf{\Lambda}}\|^2 \le 1. $

Так как

$ \|{\mathbf{\Lambda}}\| = \frac{4}{h^2}, $
то окончательно получаем условие

${\tau}\le \frac{h^4}{4}c_2 , $

где c2 — константа, определяющая \rho - устойчивость схемы. При этом погрешности все равно экспоненциально возрастают! В энергетической норме H_{\mathbf{A}} условие устойчивости будет

$ {\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}(i{\mathbf{E}}) \ge \frac{1}{2} \tau {\mathbf{A}}, $

которое не выполняется при любом \tau. Следовательно, в энергетической норме устойчивых разностных схем для уравнения Шредингера при \sigma < 0, 5 нет.

Рассмотрим разностную схему

$ \frac{{{\mathbf{u}}_m^{n + 1} - {\mathbf{u}}_m^{n}}}{\tau} + a \left({\frac{{{\mathbf{u}}_{m + 1}^{n} - {\mathbf{u}}_{m - 1}^{n}}}{2h}}\right)^{({\sigma})} = 0. $

Здесь

$ {\mathbf{B}} = {\mathbf{E}}; {\mathbf{A}} = {diag} \left({- \frac{a}{2h} \quad 0 \quad \frac{a}{2h}}\right) $
трехдиагональная матрица;
$ \frac{1}{2}({\mathbf{A}} + {\mathbf{A}}^* ) = 0 $
оператор \mathbf{A} кососимметрический.

В случае {\sigma} \ge 0, 5 схема устойчива. При \sigma < 0, 5 имеем условие устойчивости

${\tau}\frac{a^2}{4h^2} < c_2 \Rightarrow \frac{a{\tau}}{h} < \frac{4c_2h}{a}, $

но ошибки все же экспоненциально возрастают как e^{0, 5(1 - 2 {\sigma})k^2 t}, где k — число Куранта. По спектральному признаку при \sigma = 0 схема неустойчива.

Очевидно, что для уравнения Шредингера нет устойчивых схем в случае \sigma < 0, 5 и при использовании метода конечных элементов. Действительно, будем рассматривать дискретную схему

$ i{\mathbf{\hat{B}}} \frac{{{\mathbf{\psi}}^{n + 1} - {\mathbf{\psi}}^{n + 1}}}{\tau} - \frac{1}{2}{\mathbf{{\lambda}\psi}}^{({\sigma})} = 0, $

где $ {\mathbf{\hat{B}}} = {\mathbf{\hat{B}}}^* $. Условие устойчивости в энергетической норме приведет к операторному неравенству вида

$ \frac{i{\mathbf{\hat{B}}} - i{\mathbf{\hat{B}}}^* }{2} \ge \frac{(-{\tau}{\mathbf{\Lambda}})}{4} ( - {\mathbf{\Lambda}} > 0). $

В силу положительности - {\mathbf{\Lambda}}, приходим к противоречию

$ 0 \ge \frac{\tau}{4}({- {\mathbf{\Lambda}}}) > 0. $
В завершение экскурса в теорию устойчивости разностных схем рассмотрим разностную схему более общего вида:

$ {\mathbf{B}}(t) \frac{{{\mathbf{u}}^{n + 1} - {\mathbf{u}}^{n}}}{\tau} + {\mathbf{A}}(t){\mathbf{u}}^{n} = {\varphi}. $

Пусть, как и ранее, выполнено условие самосопряженности

{\mathbf{A}}(t): {\mathbf{A}}(t) = {\mathbf{A}}^* (t) > 0, t \in [0;T], \quad {\mathbf{B}}(t) > 0;

\mathbf{A}(t) — Липшиц - непрерывен по t.

|([{\mathbf{A}}(t) - {\mathbf{A}}(t -{\tau})]{\mathbf{x}}, {\mathbf{x}})| \le{\tau}c({\mathbf{A}}(t -{\tau}){\mathbf{x}}, {\mathbf{x}}).

Введем энергетические нормы, зависящие от времени:

H_{\mathbf{A}}:({\mathbf{A}}(t){\mathbf{u}}, {\mathbf{u}}) = \|{\mathbf{u}}\|_{{\mathbf{A}}(t)}^2.

Воспользуемся введенным ранее энергетическим тождеством:

\begin{gather*} 2{\tau}\left({\left[{{\mathbf{B}}(t) - \frac{{{\tau}{\mathbf{A}}(t)}}{2}}\right] \frac{{{\mathbf{u}}^{n + 1} - {\mathbf{u}}^{n}}}{\tau}, \frac{{{\mathbf{u}}^{n + 1} - {\mathbf{u}}^{n}}}{\tau}}\right) + ({\mathbf{A}}(t){\mathbf{y}}^{n + 1}, {\mathbf{y}}^{n + 1} ) = \\ = ({\mathbf{A}}(t){\mathbf{u}}^{n + 1}, {\mathbf{u}}^{n + 1} ) + 2{\tau}\left({{\varphi}, \frac{{{\mathbf{u}}^{n + 1} - {\mathbf{u}}^{n}}}{\tau}}\right). \end{gather*}

Учтем, что

\begin{gather*} ({\mathbf{A}}(t){\mathbf{y}}(t), {\mathbf{y}}(t)) \equiv ({\mathbf{A}}(t -{\tau}) {\mathbf{y}}(t), {\mathbf{y}}(t)) + ([{\mathbf{A}}(t) - {\mathbf{A}}(t -{\tau})] {\mathbf{y}}(t), {\mathbf{y}}(t)) \le \\ \le (1 + \tau c)({\mathbf{A}}(t -{\tau}){\mathbf{y}}(t), {\mathbf{y}}(t)) \end{gather*}

в силу Липшиц - непрерывности. Тогда получаем

\begin{gather*} 2{\tau}\left({\left[{{\mathbf{B}}(t) - \frac{{{\tau}{\mathbf{A}}(t)}}{2}}\right] \frac{{{\mathbf{u}}^{n + 1} - {\mathbf{u}}^{n}}}{\tau}, \frac{{{\mathbf{u}}^{n + 1} - {\mathbf{u}}^{n}}}{\tau}}\right) + ({\mathbf{A}}(t){\mathbf{u}}(t +{\tau}), {\mathbf{u}}(t +{\tau})) \le \\ \le (1 +{\tau}c) \times ({\mathbf{A}}(t -{\tau}){\mathbf{u}}^{n}, {\mathbf{u}}^{n}) + 2{\tau} \left({{\varphi}(t), \frac{{{\mathbf{u}}^{n + 1} - {\mathbf{u}}^{n}}}{\tau}}\right). \end{gather*}

Теперь если

$ {\mathbf{B}}(t) - \frac{{\tau}{\mathbf{A}}(t)}{2} \ge 0, $
то при {\varphi}(t) \equiv 0 сразу имеем

\begin{gather*} ({\mathbf{A}}(t){\mathbf{u}}^{n + 1}, {\mathbf{u}}^{n + 1} ) = \|{\mathbf{u}}^{n + 1}\|_{{\mathbf{A}}(t)}^2 \le (1 +{\tau}c)({\mathbf{A}}(t -{\tau}){\mathbf{u}}^{n}, {\mathbf{u}}^{n} ) = \\ = (1 +{\tau}c)\|{\mathbf{u}}^{n}\|_{{\mathbf{A}}(t)}^2 \le e^{ct} ({\mathbf{A}}(0){\mathbf{u}}^1, {\mathbf{u}}^1 ) \le e^{ct}\|{\mathbf{u}}^0 \|_{{\mathbf{A}}(t)}^2 . \end{gather*}

Отсюда и следует устойчивость: из энергетического тождества при n = 1 получим, что схема устойчива по начальным данным. Устойчивость по правой части будет следовать из устойчивости по начальным данным.

Таким образом, случай операторов , зависящих от времени, принципиально не отличается от случая постоянных операторов , лишь нормы устроены несколько по - другому.

Аналогичные теории строятся и для трехслойных разностных схем, условия устойчивости также получаются на основе энергетических тождеств в виде операторных неравенств.

Дальше >>
Лекция 1: 1234567891011 || Лекция 2 >

Вопросы и ответы

вопросов: 0