НОУ ИНТУИТ | Современные численные методы в объектно-ориентированном изложении на C#. Лекция 10: Объектно-ориентированный подход в моделировании функциональных пространств

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 18.05.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 976 / 106 | Оценка: 4.40 / 4.20 | Длительность: 12:30:00

Тема: Программирование

Специальности: Программист, Архитектор программного обеспечения

|

Вам нравится? Нравится 18 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Посмотрим как на C# выглядят нормированные (банаховы) пространства.

$\begin{verbatim} abstract class TNormSpace { public abstract double norm(object x); } class TCNormSpace : TNormSpace { public override double norm(object x) { double res = 0; TRFunc F = (TRFunc)x; double t = 0; // задаем шаг для расчета max double dt = (F.Get_b() - F.Get_a()) / 1000; while (t < F.Get_b()) { if (Math.Abs(F.CalcY(t)) > res) { res = Math.Abs(F.CalcY(t)); } t += dt; } return res; } } \end{verbatim}$

Мы реализовали абстрактное нормированное пространство TNormSpace

, а потом реализуем класс-наследник для пространства C[a,b]

. Чтобы вычислить нормы некоторых функций реализуем эти функции.

$\begin{verbatim} class TXSinFunc : TRFunc { public TXSinFunc(double a, double b) : base(a, b) { } protected override TElement CalcVal(double x) { TElement res = new TElement(x * Math.Sin(x)); return res; } } class TXXFunc : TRFunc { public TXXFunc(double a, double b) : base(a, b) { } protected override TElement CalcVal(double x) { TElement res = new TElement(x * (1 - x)); return res; } } \end{verbatim}$

Теперь посчитаем нормы этих функций.

$\begin{verbatim} TXSinFunc XSin = new TXSinFunc(0, 2.0 * Math.PI); TXXFunc XX = new TXXFunc(0, 1); TCNormSpace C = new TCNormSpace(); Console.WriteLine("||x*sin(x)||={0}", C.norm(XSin)); Console.WriteLine("||x*(1-x)||={0}", C.norm(XX)); \end{verbatim}$

После запуска мы увидим

$\begin{verbatim} ||x*sin(x)||=4.81446969901559 ||x*(1-x)||=0.25 \end{verbatim}$

Чтобы вычислять метрику между двумя функциями в пространстве с помощью нормы реализуем еще один класс, который будет представлять разность двух числовых функций.

$\begin{verbatim} class TSubFunc : TRFunc { TRFunc X, Y; public TSubFunc(TRFunc X, TRFunc Y) : base(X.Get_a(), X.Get_b()) { this.X = X; this.Y = Y; } protected override TElement CalcVal(double x) { throw new NotImplementedException(); } public override double CalcY(double x) { return X.CalcY(x) - Y.CalcY(x); } } \end{verbatim}$

Теперь вычислим расстояние между функциями $\sin(x)$ и $\cos(x)$ в пространстве C[a,b]

$\begin{verbatim} TCNormSpace C = new TCNormSpace(); TSinFunc Sin = new TSinFunc(0, 2.0 * Math.PI); TCosFunc cos = new TCosFunc(0, 2.0 * Math.PI); TSubFunc SinCos = new TSubFunc(Sin, cos); Console.WriteLine("||sin(x) - cos(x)||={0}", C.norm(SinCos)); \end{verbatim}$

В результате получим

$\begin{verbatim} ||sin(x) - cos(x)||=1.41421356237309 \end{verbatim}$

Таким образом мы видим, что расстояние между этими функциями равно $\sqrt{2}$ . И это при том, что норма каждой из функций равна

!

Однако в некоторых функциональных пространствах можно ввести не только расстояние между функциями, но и угол. Эти пространства называются предгильбертовым. Линейное пространство $\Bbb{X}$ называется предгильбертовым, если в этом пространстве можно ввести скалярное произведение $(x,y)_\Bbb{X}$ , которое должно удовлетворять следующим условиям для любых $x,y,z\in\Bbb{X}$ и $\lambda,\mu\in\Bbb{C}$

$(\lambda x+\mu y,z)=\lambda(x,z)+\mu(y,z)$
$(x,y)=\overline{(y,x)}$
$(x,x)\ge 0$ , причем тогда и только тогда, когда

Предгильбертово пространство является также и нормированным и, соответственно, метрическим. Скалярное произведение порождает норму по формуле

$\|x\|=(x,x)^{1/2}.$

Полное предгильбертово пространство называется гильбертовым.

Конечномерное пространство $\Bbb{R}^n$ является гильбертовым со скалярным произведением

$(x,y)_{\Bbb{R}^n}=x_1y_1+\cdots+x_ny_n.$

В пространстве L[a,b]

также можно ввести скалярное пространство по формуле

$(f,g)_{L[a,b]}=\int\limits_a^bf(x)\overline{g(x)}dx.$

Однако это пространство не будет полным, и, соответственно, гильбертовым.

Для двух ненулевых элементов вещественного предгильбертова пространства можно ввести понятие угла $\varphi$ . Пусть $x\ne0$ и $y\ne0$ , тогда углом между этими элементами является величина

$\varphi=\arccos\frac{(x,y)}{\|x\|\|y\|}.$

Неравенство Коши-Буняковского, верное в любом предгильбертовом пространстве, гарантирует, что $\arccos$ существует. Действительно, согласно этому неравенству

$|(x,y)|\le\|x\|\|y\|.$

Создадим абстрактный класс для предгильбертовых пространств и реализуем класс для пространства L[a,b]

.

$\begin{verbatim} abstract class THSpace { public abstract double inner(object x, object y); } class TLSpace : THSpace { public override double inner(object x, object y) { double res = 0; TRFunc F = (TRFunc)x; TRFunc G = (TRFunc)y; double t = 0; double dt = (F.Get_b() - F.Get_a()) / 10000; while (t + dt < F.Get_b()) { res += F.CalcY(t) * G.CalcY(t) * dt; t += dt; } return res; } } \end{verbatim}$

Теперь вычислим некоторые скалярные произведения.

$\begin{verbatim} TLSpace LSpace = new TLSpace(); Console.WriteLine("(sin x, cos x) = {0}", LSpace.inner(Sin, Cos)); Console.WriteLine("(sin x, sin x) = {0}", LSpace.inner(Sin, Sin)); Console.WriteLine("(x(1-x), sin x) = {0}", LSpace.inner(XX, Sin)); \end{verbatim}$

В результате получим:

$\begin{verbatim} (sin x, cos x) = 3.94784157532637E-07 (sin x, sin x) = 3.14159265334141 (x(1-x), sin x) = 0.0779244027546068 \end{verbatim}$

А теперь посчитаем углы между этими функциями. Для этого добавим в класс THSpace

метод для подсчета угла.

$\begin{verbatim} abstract class THSpace { public abstract double inner(object x, object y); public double Angle(object x, object y) { return Math.Acos(inner(x, y) / Math.Sqrt((inner(x, x) * inner(y, y)))); } } \end{verbatim}$

Теперь выполним следующий код.

$\begin{verbatim} Console.WriteLine("Angle(sin x, cos x) = {0}", LSpace.Angle(Sin, Cos)); Console.WriteLine("Angle(sin x, sin x) = {0}", LSpace.Angle(Sin, Sin)); Console.WriteLine("Angle(x(1-x), sin x) = {0}", LSpace.Angle(XX, Sin)); \end{verbatim}$

И получим следующий результат.

$\begin{verbatim} Angle(sin x, cos x) = 1.57079620111863 Angle(sin x, sin x) = 0 Angle(x(1-x), sin x) = 1.32760476887546 \end{verbatim}$

Мы видим, что угол между $\sin(x)$ и $\cos(x)$ равен $\frac{\pi}{2}=90^\circ$ , для таких элементов говорят, что они ортогональны. А угол между $\sin(x)$ и $\sin(x)$ равен нулю, что предсказуемо.

Ключевые термины

Банахово пространство - полное нормированное пространство.

Гильбертово пространство - полное предгильбертово пространство.

Метрика - функция на паре элементов метрического пространства, соответствующий аналог расстояния между элементами.

Метрическое пространство - абстрактное пространство в котором введена метрика.

Норма - функция на элементах нормированного пространства, аналог длинны.

Нормированное пространство - линейное пространство, в котором введена норма.

Предгильбертово пространство - линейное пространство, в котором введено скалярное произведение.

Скалярное произведение - функция на паре элементов предгильбертова пространства, удовлетворяющая аксиомам скалярного произведения.

Краткие итоги: Рассмотрены наиболее важные понятия функционального анализа - метрические, нормированные, банаховы, гильбертовы пространства. Даны объектно-ориентированные реализации этих пространств. Проведены вычислительные эксперименты, демонстрирующие функциональные пространства.

Дальше >>

Авторизоваться

Современные численные методы в объектно-ориентированном изложении на C#

Объектно-ориентированный подход в моделировании функциональных пространств

Вопросы и ответы