Решения задач
Из раздела 7
7.1 Из доказательства теоремы 7.1 следует, что достаточно научиться реализовывать все операторы вида ,
(управляемый двумя q-битами фазовый сдвиг на
является частным случаем:
). Для алгоритма построения схемы требуется также конструктивное доказательство леммы 7.1.
Сперва реализуем управляемый фазовый сдвиг:
![\Lambda(P(\phi))[1,2]=E(\phi)[1], \quad \text{где } P(\phi)=\begin{pmatrix} e^{i\phi}&0\\ 0&e^{i\phi} \end{pmatrix},\quad E(\phi)=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&e^{i\phi} \end{pmatrix}.](/sites/default/files/tex_cache/6c799d1bf24455d9ddd7b5ae3c64b06c.png)







![]() |
( *) |


Осталось доказать лемму 7.1 конструктивно. Для начала заметим, что для любых чисел существует унитарная матрица
размера
(эффективно вычислимая с любой заданной точностью
), такая что






Пусть теперь задана унитарная матрица размера
. Умножая
слева на подходящие матрицы
, можно перевести первый столбец в вектор
. При этом столбцы остаются ортогональными, поэтому первая строка переходит в
. Действуя таким же образом с остальными столбцами, получаем набор матриц
\, (
) (где
действует на
и
), удовлетворяющий условию


7.2 Неравенство (7.6) следует из цепочки неравенств, справедливых для любого :

Для доказательства равенства (7.7) заметим, что собственные числа операторов и
совпадают.