Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 579 / 9 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00
Специальности: Программист
Дополнительный материал 1:

Решения задач

< Лекция 14 || Дополнительный материал 1: 12345678910

Из раздела 7

7.1 Из доказательства теоремы 7.1 следует, что достаточно научиться реализовывать все операторы вида \Lambda(X), X\inU(2) (управляемый двумя q-битами фазовый сдвиг на -i является частным случаем: \Lambda^2(-i)=\Lambda(K^{-1}) ). Для алгоритма построения схемы требуется также конструктивное доказательство леммы 7.1.

Сперва реализуем управляемый фазовый сдвиг:

\Lambda(P(\phi))[1,2]=E(\phi)[1], \quad \text{где } P(\phi)=\begin{pmatrix} e^{i\phi}&0\\ 0&e^{i\phi} \end{pmatrix},\quad E(\phi)=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&e^{i\phi} \end{pmatrix}.
Поскольку \Lambda(XY)=\Lambda(X)\Lambda(Y), то остается реализовать операторы Y из U(2)/U(1), где U(1)подгруппа фазовых сдвигов. Можно считать, что Y\in\SU(2). Эта реализация изображена на рис. 15.5. Используемые в ней операторы A и B должны удовлетворять уравнению
A\sx A^{-1} B\sx B^{-1}=Y. ( *)
Геометрически уравнение (*) эквивалентно такому утверждению: любое вращение трехмерного пространства есть композиция двух поворотов на угол 180^\circ. Доказательство этого утверждения можно усмотреть из рис. 15.6.


Рис. 15.5.

Рис. 15.6.

Осталось доказать лемму 7.1 конструктивно. Для начала заметим, что для любых чисел c_1,c_2 существует унитарная матрица V размера 2\times 2 (эффективно вычислимая с любой заданной точностью \delta ), такая что

V \left(\begin{array}{@{}c@{}} c_1\\c_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{@{}c@{}} \sqrt{|c_1|^2+|c_2|^2}\\0 \end{array}\right).
Следовательно, для любого единичного вектора \ket\xi\in\CC^M существует последовательность унитарных матриц V^{(1)},\dots,V^{(M-1)}, такая что V^{(1)}\cdot\ldots\cdot V^{(M-1)}\ket{\xi}=\ket{1}, где V^{(s)} действует на подпространстве \CC\bigl(\ket{s},\,\ket{s+1}\bigr) (как матрицы в условии леммы 7.1) и оставляет неизменными остальные базисные векторы.

Пусть теперь задана унитарная матрица U размера M\times M. Умножая U^{-1} слева на подходящие матрицы U^{(1,1)},\dots,U^{(1,M-1)}, можно перевести первый столбец в вектор \ket{1}. При этом столбцы остаются ортогональными, поэтому первая строка переходит в \bra{1}. Действуя таким же образом с остальными столбцами, получаем набор матриц U^{(j,s)} \, ( 1\le j\le s\le M-1 ) (где U^{(j,s)} действует на \ket{s} и \ket{s+1} ), удовлетворяющий условию

U^{(M-1,M-1)}U^{(M-2,M-2)}U^{(M-2,M-1)}\cdot\ldots\cdot U^{(1,1)}\cdot\ldots\cdot U^{(1,M-1)}\, U^{-1} = I.
Этот набор строится алгоритмом сложности O(M^3)\cdot\poly(\log(1/\delta)).

7.2 Неравенство (7.6) следует из цепочки неравенств, справедливых для любого \ket\xi:

\big\| XY\ket\xi\big\|\leq \| X\|\cdot \big\|Y\ket\xi\big\|\leq \| X\|\cdot \|Y \|\cdot\big\|\ket\xi\big\|.

Для доказательства равенства (7.7) заметим, что собственные числа операторов XX^\dagger и X^\dagger{}X совпадают.

< Лекция 14 || Дополнительный материал 1: 12345678910