Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 579 / 9 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00
Специальности: Программист
Лекция 13:

Квантовый аналог NP: класс BQNP

< Лекция 12 || Лекция 13: 12345 || Лекция 14 >
Аннотация: В лекции вводится понятие частично определенных функций, рассматривается доказательство леммы "об усилении вероятностей", дается описание класса BQNP и входящих в него полных задач, приводится определение локального гамильтониана, и кроме того, рассматривается вопрос о том, какое место класс BQNP занимает среди других сложностных классов.

Можно строить квантовые аналоги не только для класса P, но и для других классических сложностных классов. Мы разберем пример квантового аналога класса NP.

Модификация классических определений

Квантовое вычисление, как, впрочем, и вероятностное, наиболее естественно описывать, используя частично определенные функции. Ранее мы обходились без этого понятия, чтобы не усложнять изложение лишними деталями, но теперь оно нам потребуется.

Частично определенная булева функция — это функция

F\colon \cb^n\to \{0,\,1,\, \langle \text{не определено}\rangle}\}.
В этом разделе всюду под булевыми функциями подразумеваются частично определенные булевы функции.

И еще одно замечание по поводу обозначений: мы использовали обозначение P и для класса полиномиально вычислимых функций, и для класса полиномиально разрешимых предикатов; теперь поступим аналогично, используя обозначения P, NP и т.п. для классов частично определенных функций.

P, естественно, обозначает класс полиномиально вычислимых частично определенных функций. Приведем модифицированное определение класса NP.

Определение 13.1. Функция F\colon \cb^*\to \{0,\,1,\, \langle \text{не определено}\rangle}\} принадлежит классу NP, если есть частично определенная функция R\in\P от двух переменных, такая что

F(x)=1 & \Longrightarrow & \exists\, y\:\big((|y|<q(|x|))\wedge(R(x,y)=1)\big),\\ F(x)=0 &>\Longrightarrow & \forall\, y\: \big((|y|<q(|x|))\Rightarrow(R(x,y)=0)\big).
Как и раньше, q(\cdot)полином.

Что будет, если в определении 13.1 заменить условие R\in\P на условие R\in \BPP? Получится другой, скорее всего, более широкий класс, который можно было бы обозначить BNP. Однако для этого класса есть другое, стандартное, обозначение — MA, указывающее на то, что он входит в иерархию классов, определяемых играми Артура - Мерлина. Об играх, которыми задаются сложностные классы, мы уже говорили в "Иерархия сложностных классов" ; игры Артура - Мерлина отличаются тем, что Артур — вероятностная полиномиальная машина Тьюринга. Порядок букв в обозначении MA указывает на порядок ходов: вначале Мерлин сообщает y, затем Артур проверяет выполнение предиката R(x,y).

Квантовое определение по аналогии.

Определение 13.2. Функция F\colon \cb^*\to \{0,\,1,\, \Undef\} принадлежит классу \BQNP, если существует однородная последовательность квантовых схем полиномиального по n размера, реализующих такие операторы U_n\colon \BB^{\otimes N_n}\to \BB^{\otimes N_n}, что

F_n(x)=1 & \Longrightarrow & \exists\, \ket\xi\: \PP\Bigl(U_n\ket\xi\otimes\ket{x}\otimes\ket{0^{N_n-n-m_n}},\calM\Bigr) \geq p_1,\\ F_n(x)=0 & \Longrightarrow & \forall\, \ket\xi\: \PP\Bigl(U_n\ket\xi\otimes\ket{x}\otimes\ket{0^{N_n-n-m_n}},\calM\Bigr) \leq p_0.

Здесь F_n(\cdot) — ограничение F на слова длины n, \ket\xi\in\BB^{\otimes m_n}, m_n\double=\poly(n), \calM=\ket1\otimes\BB^{\otimes (N_n-1)}, а для p_0 и p_1 должно выполняться условие p_1-p_0=\Omega(n^{-\alpha}), \alpha\geq0.

Вектор \ket\xi выполняет роль подсказки ( y ) из предыдущего определения. Нам удобнее считать его первым аргументом оператора U_n (чтобы можно было в любой момент положить x константой и исключить из обозначений).

Замечание 13.1. В определении кванторы по \ket\xi включают в себя только векторы единичной длины. Аналогичное соглашение будем использовать и далее в этом разделе, вынося нормировочные множители за знак \ket{\:}.

Если вместо чистых состояний \ket\xi рассматривать смешанные, то получается эквивалентное определение: максимум вероятности все равно достигается на чистом состоянии.

По сути происходит все та же игра Мерлина с Артуром, только теперь подчиняющаяся законам квантовой механики. Сообщение Мерлина (состояние \ket\xi ) дает Артуру возможность убедиться в том, что F(x)=1 с вероятностью p_1, если это так. А если F(x)=0, то вероятность, что Мерлину удастся убедить Артура в обратном, не выше p_0 для любого сообщения Мерлина.

Обсудим теперь соотношения между пороговыми вероятностями. Из приведенного в определении 13.2 соотношения следует гораздо более сильное условие на p_0 и p_1.

< Лекция 12 || Лекция 13: 12345 || Лекция 14 >
Михаил Адигеев
Михаил Адигеев
Россия
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига