Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 579 / 9 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00
Специальности: Программист
Лекция 8:

Определение квантового вычисления. Примеры

< Лекция 7 || Лекция 8: 123 || Лекция 9 >
Аннотация: В лекции дается подробное описание квантовых вычислений, приводится определение функции голосования, дается определение универсальной переборной задачи в классической и квантовой постановке, вводится понятие универсальной квантовой схемы, рассматриваются квантовые алгоритмы и класс BQP.

Пока мы описали работу квантового компьютера. Теперь пора определить, когда эта работа приводит к решению интересующей нас задачи. Определение будет похоже на определение вероятностного вычисления.

Пусть есть функция F\colon\cb^n\to\cb^m. Рассмотрим квантовую схему, работающую с N битами: U=U_L\cdot\ldots\cdot U_2U_1\colon{} \BB^{\otimes N}\to\BB^{\otimes N}. Неформально говоря, эта схема вычисляет F, если после применения U к начальному состоянию \ket{x,0^{N-n}}, мы, "посмотрев" на первые m битов, с большой вероятностью "увидим" F(x). (Остальные q-биты могут содержать произвольный мусор.)

Нужно только оговорить, что такое эта вероятность. Слова "посмотрев" и "увидим" в точном смысле означают, что производится измерение значений соответствующих q-битов. В результате измерения могут получаться разные ответы, каждому соответствует своя вероятность. Ниже (раздел 9) этот вопрос рассматривается подробно. Для того, чтобы дать определение квантового вычисления функции F, достаточно (не вдаваясь в обсуждение физических объяснений этого факта) принять следующее: вероятность получения базисного состояния, x при измерении состояния \ket\psi=\sum_x c_x\ket{x} равна

\PP(\ket\psi, x)=|c_x|^2. ( 8.1)

Нас интересует вероятность того, что компьютер закончит работу в состоянии вида (F(x),z), где z — любое.

Определение 8.1. Схема U=U_L\cdot\ldots\cdot U_2U_1 вычисляет F, если для любого x выполнено

\sum_{z}^{} \bigl| \langle F(x),z|\,U\,|x,0^{N-n}\rangle\bigr|^2 \ge 1-\varepsilon,
где \varepsilon — некоторое фиксированное число, меньшее 1/2. (Обратите внимание, что F(x) и x состоят из разного количества битов, хотя суммарная длина (F(x),z) и (x,0^{N-n}) одинакова и равна N.)

Как и для вероятностных вычислений, выбор \varepsilon несущественен, поскольку можно запустить несколько экземпляров схемы независимо и выбрать тот результат, который получается чаще всего. Из оценки, приведенной в "Вероятностные алгоритмы и класс BPP. Проверка простоты числа" , следует, что для уменьшения вероятности неудачи в N раз нужно взять O(\log N) экземпляров схемы U. Выбор самого частого результата реализуется классической схемой, использующей функцию голосования \MAJ(x_1,\dots,x_n) (она равна 1, когда более половины ее аргументов равны 1, и равна 0 в противном случае). Функция \MAJ(x_1,\dots,x_n) реализуется в полном базисе схемой размера O(n\log n), так что потеря эффективности при уменьшении вероятности неудачи в N раз задается множителем O(m\log N\log\log N).

Задача 8.1. Докажите, что приведенное рассуждение является корректным в квантовом случае: функция \MAJ_\oplus реализована в виде обратимой схемы, на вход которой подаются выходные q-биты n копий схемы U.

< Лекция 7 || Лекция 8: 123 || Лекция 9 >
Михаил Адигеев
Михаил Адигеев
Россия
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига