Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 579 / 9 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00
Специальности: Программист
Лекция 12:

Быстрые квантовые алгоритмы

Аннотация: В лекции приводится "задача о скрытой подгруппе", дается ее решение, рассмотрен квантовый алгоритм для решения задачи о нахождении периода числа, описан процесс построения измеряющего оператора.

Единственное нетривиальное использование квантовых свойств для вычислений, которое мы уже рассмотрели, — это решение универсальной переборной задачи алгоритмом Гровера, изложенным в "Определение квантового вычисления. Примеры" . К сожалению, при этом достигается лишь полиномиальное ускорение. Поэтому никаких серьезных следствий для теории сложности вычислений (типа \BQP\supset \BPP ) алгоритм Гровера не дает. В настоящее время нет доказательства того, что квантовые вычисления превосходят по скорости классические вероятностные. Но есть косвенные свидетельства в пользу такого утверждения. Первое из них — пример задачи с оракулом (т.е. процедурой типа "черного ящика"), для которой существует полиномиальный квантовый алгоритм, в то время как любой классический вероятностный алгоритм экспоненциален1Следует иметь в виду, что сложность задач с оракулом часто отличается от сложности обычных вычислительных задач. Классический пример — теорема о том, что \IP=\PSPACE [36, 37]. Оракульный аналог этого утверждения неверен [30]! . Этот пример, построенный Д. Саймоном [42], называется задачей о скрытой подгруппе в (\ZZ_2)^k . В дальнейшем мы решим также задачу о скрытой подгруппе в \ZZ^k, обобщающую все результаты из этого раздела.

Задача о скрытой подгруппе. Пусть G — конечная группа, причем задано некоторое представление элементов G двоичными словами. Имеется устройство ( оракул ), вычисляющее функцию f\colon G\to\cb^n со следующим свойством:

\begin{equation}\label{скр-подгруппа} f(x)=f(y)\,\ \Longleftrightarrow\,\ x-y\in D, \end{equation} ( 12.1)
где D\subseteq G — некоторая заранее неизвестная подгруппа. Нужно найти эту подгруппу.

Задача о скрытой подгруппе в (\ZZ_2)^k.

Мы рассмотрим сформулированную выше задачу в случае G=(\ZZ_2)^k. Элементы этой группы

можно представлять строками длины k из нулей и единиц; групповая операция — побитовое сложение по модулю 2.

Легко доказать, что нельзя быстро найти "скрытую подгруппу" на классической вероятностной машине. (Классическая машина посылает на вход "черного ящика" строки x_1,\dots,x_l и получает ответы y_1,\dots,y_l. Каждый следующий вопрос x_j зависит от предыдущих ответов y_1,\dots,y_{j-1} и некоторого случайного числа r.)

Утверждение 12.1. Пусть n\ge k. Для любого классического вероятностного алгоритма, делающего не более 2^{k/2} обращений к оракулу, существует подгруппа D\subseteq(\ZZ_2)^k и соответствующая функция f\colon (\ZZ_2)^k\to\cb^n, для которой алгоритм ошибается с вероятностью >\slashfrac{1}{3}.

Доказательство. Для одной и той же подгруппы D существует несколько различных оракулов f. Мы будем считать, что один из них выбирается случайно и равновероятно. (Если алгоритм ошибается с вероятностью >\slashfrac{1}{3} при случайном оракуле, то он также будет ошибаться с вероятностью >\slashfrac{1}{3} при каком-нибудь конкретном оракуле.) Случайный оракул обладает следующим свойством: если очередной ответ y_j не совпадает ни с одним из предыдущих ответов y_1,\dots,y_{j-1}, то он равномерно распределен на множестве \cb^n\backslash\{y_1,\dots,y_{j-1}\}. Таким образом, случайный оракул эквивалентен устройству с памятью, которое на вопрос x_j выдает наименьшее число s_j\le j, такое что x_j-x_{s_j}\in D. Классическую машину можно изменить таким образом, что она сама будет производить случайный выбор y_j\double\in\cb^n\backslash\{y_1,\dots,y_{j-1}\}, когда s_j=j.

Пусть число вопросов к оракулу равно l\le 2^{k/2}. Без уменьшения общности все вопросы различны. В случае D=\{0\} все ответы также различны, то есть s_j=j для всех j. Теперь рассмотрим случай D\double=\{0,z\}, где z выбирается случайно с равномерным распределением на множестве всех ненулевых элементов группы (\ZZ_2)^k. Тогда, независимо от используемого алгоритма, s_j=j c вероятностью \ge 1-\slashfrac{(j-1)}{(2^k-1)}. С вероятностью \ge1-\slashfrac{l(l-1)}{(2(2^k-1))}>\slashfrac{1}{2} это имеет место для всех j=1,\dots,l. Напомним, что у нас есть два случайных параметра: z и r. Мы можем зафиксировать z таким образом, чтобы вероятность получения ответов s_j=j (для всех j ) по-прежнему была больше \slashfrac{1}{2}. Посмотрим, что будет делать классическая машина в этом случае. Если она выдает ответ " D=\{0\} " с вероятностью \ge\slashfrac{2}{3}, положим D=\{0,z\} — тогда выдаваемый ответ будет неверным с вероятностью >(\slashfrac{2}{3})\cdot(\slashfrac{1}{2})=\slashfrac{1}{3}. Если же вероятность ответа " D=\{0\} " меньше \slashfrac{2}{3}, положим D=\{0\}.

Теперь определим квантовый аналог описанного выше устройства. Соответствующий квантовый оракул — это унитарный оператор

\begin{equation}\label{кв-оракул} U\colon  \ket{x,y}\,\mapsto\,\ket{x,\,y\oplus f(x)}. \end{equation} ( 12.2)
( \oplus обозначает побитовое сложение). Заметим, что квантовый оракул допускает линейные комбинации разных вопросов, поэтому его можно использовать более эффективно, чем классический оракул.

Пусть Е=G/D, а E^* — группа характеров на E, т.е. гомоморфизмов E\to U(1). В случае G=(\ZZ_2)^k группу E^* можно охарактеризовать следующим образом:

E^*= \{h \in(\ZZ_2)^k: \forall\, z\in(\ZZ_2)^k\: (h\cdot z=0) \},
где h\cdot z обозначает скалярное произведение по модулю 2. (Соответствующий h характер имеет вид z\mapsto(-1)^{h\cdot z}.) Покажем, как можно породить случайный элемент h\in E^*, используя оператор U. Породив достаточно много случайных элементов, мы найдем группу E^*, и, тем самым, исходную подгруппу D.

Начнем с того, что приготовим состояние \ket{\xi}=2^{-k/2}\sum_{x\in G}\ket{x}=H^{\otimes k}\ket{0^k} в одном квантовом регистре. Во второй регистр поместим состояние \ket{0^n} и применим оператор U. Затем выбросим второй регистр, т.е. не будем его больше использовать. Получится смешанное состояние

\rho \,=\, \Tr_2\Bigl(U(\ket{\xi}\bra{\xi}\otimes\ket{0^n}\bra{0^n})U^\dagger \Bigr)\,=\, 2^{-k}\,\sum_{x,y:x-y\in D}\ket{x}\bra{y}.
Теперь применим оператор H^{\otimes k}:
\gamma \,=\, H^{\otimes k}\rho H^{\otimes k} \,=\, 2^{-2k} \sum_{a,b}\sum_{x,y:x-y\in D} (-1)^{a\cdot x-b\cdot y}\ket{a}\bra{b}.
Легко видеть, что величина \sum\limits_{x,y:x-y\in D}(-1)^{a\cdot x-b\cdot y} отлична от нуля только в том случае, когда a=b\in E^*. Таким образом,
\gamma = \frac{1}{|E^*|} \sum_{a\in Е^*} \ket{a}\bra{a}.
Это в точности матрица плотности для случайного равномерно распределенного элемента группы E^*. Теперь осталось воспользоваться следующей леммой, которую мы сформулируем в виде задачи.

Задача 12.1. Пусть h_1,\dots,h_l — независимые случайные равномерно распределенные элементы абелевой группы X. Докажите, что они порождают всю группу X c вероятностью \ge 1-\slashfrac{|X|}{2^l}.

Таким образом, достаточно 2k случайных элементов, чтобы породить всю группу E^* с вероятностью ошибки \le 2^{-k}. (Такая маленькая вероятность ошибки получается без особых затрат по сравнению с \slashfrac{1}{3}. Чтобы сделать ее еще меньше, эффективнее всего воспользоваться стандартной процедурой: повторить все вычисление несколько раз и выбрать наиболее часто встречающийся ответ).

Подведем итог: для нахождения "скрытой подгруппы" D требуется O(k) обращений к квантовому оракулу. В целом алгоритм имеет сложность O(k^3).

Михаил Адигеев
Михаил Адигеев
Россия
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига