Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 576 / 7 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00
Специальности: Программист
Лекция 11:

Измеряющие операторы

< Лекция 10 || Лекция 11: 12 || Лекция 12 >
Аннотация: В этой рассматривается особый класс операторов - измеряющий оператор, а также подробно описываются его свойства. Кроме того в лекции подробно рассмотрен пример прикладного использования измеряющего оператора для исследования физических явлений, а также его математическое обоснование.

Введем особый класс операторов — измеряющие операторы. Пусть есть пространство состояний \calN\otimes\calK, причем первый сомножитель разложен в прямую сумму попарно ортогональных подпространств: \calN\double=\bigoplus\limits_j \calL_j. Тогда всякий оператор вида W=\sum\limits_{j}^{} \Pi_{\calL_j}\otimes U_j будем называть измеряющим.

Чтобы оправдать такое название, рассмотрим следующий процесс. Пусть имеется некоторое состояние, описываемое матрицей плотности \rho\in\LL(\calN). Подсоединим прибор ; совместное состояние системы и прибора описывается матрицей плотности \rho\otimes\ket{0^m}\bra{0^m} (мы считаем, что во втором сомножителе, описывающем прибор, есть выделенный базис, например, что это \BB^{\otimes n} ).

Теперь применяем измеряющий оператор W. Получаем состояние

W\Bigl(\rho\otimes\ket{0^m}\bra{0^m}\Bigr)W^\dagger =\sum_{j}^{}\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}\otimes U_j\ket{0}\bra{0}U_j^\dagger
(здесь мы воспользовались характеристическими свойствами проектора \Pi^\dagger=\Pi, \Pi^2=\Pi ).

И последнее действие: прибор становится классическим. Это означает, что матрица диагонализуется по второму сомножителю. Посмотрим, во что переходят при этом вторые сомножители в написанной сумме:

\gamma_j=\ket{\xi_j}\bra{\xi_j} \longmapsto \sum_{k}^{} \left| \langle k|\xi_j\rangle\right|^2 \ket{k}\bra{k} \quad\left(\text{так как } \left(\gamma_j\right)\raisebox{-2pt}{\big|}_{kk} = \langle k|\gamma_j|k\rangle\right).
Теперь запишем получившийся результат:
\sum_{j}^{}\sum_{k}^{}\left(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j} \left|\langle k|U_j|0\rangle \right|^2,\,k\right) = \sum_{j}^{}\sum_{k}^{}\PP(k\big|j)\left(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}, k\right),
где введены условные вероятности \PP(k\big|j) = \left|\langle k|U_j|0\rangle \right|^2. Заметим, что для измерения (как оно было определено в предыдущем разделе) \PP(k\big|j)=\delta_{kj}, поэтому только что описанный процесс можно назвать "вероятностным измерением". Введенные таким образом квантовые условные вероятности ведут себя как обычные, если рассматриваются произведения измеряющих операторов, построенных на одном и том же ортогональном разложении пространства состояний (см. ниже).

Приведем примеры измеряющих операторов.

1. Оператор \Lambda(U)=\Pi_0\otimes I + \Pi_1\otimes U, действующий на пространстве \BB\otimes \calN, — измеряющий.

1'. Нетривиально, что он измеряющий и по второй компоненте. Поскольку U — унитарный оператор, его можно разложить в сумму проекторов на собственные подпространства: U=\sum_{j} \lambda_j\Pi_{\calL_j}, |\lambda_j|=1. Тогда \Lambda(U)=\sum_{j} (\Pi_0+\lambda_j\Pi_1)\otimes\Pi_{\calL_j}= \sum_{j}^{} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&\lambda_j \end{pmatrix} \otimes\Pi_{\calL_j}. В этом случае условные вероятности равны \PP(0\big|j) =1 и \PP(1\big|j) =0, поэтому такой оператор, хотя и является измеряющим по определению, фактически ничего не измеряет.


Замечание для физиков. Пусть U — оператор фазового сдвига света при прохождении сквозь стеклянную пластинку. Мы можем разделить луч света на два, пропустив его через полупрозрачное зеркало, затем один из полученных лучей пропустить через стеклянную пластинку, а затем заставить полученные в результате лучи интерферировать. По картине интерференции можно узнать фазовый сдвиг.

Математический вариант предыдущего примера. Аналогом полупрозрачного зеркала будет служить оператор

H=\displaystyle\frac{1}{\sqrt2} \leftp\begin{array}{rr}1&1\\1&-1\end{array}\rightp.
Как видно из приведенной выше картинки, его нужно применить в начале и в конце. Строго говоря, рассмотрим оператор
\Xi(U)=(H\otimes I)\Lambda(U)(H\otimes I).
Если начальный вектор имеет вид \ket{\psi}=\ket{\eta}\otimes\ket{\xi} ( \ket{\xi}\in\calL_j ), то \Xi(U)\ket{\psi} =\ket{\eta'}\otimes\ket{\xi}, где
\ket{\eta'}=\frac{1}{\sqrt2} \leftp\begin{array}{rr}1&1\\1&-1\end{array}\rightp \begin{pmatrix} 1&0\\0&\lambda_j \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2}\leftp\begin{array}{rr}1&1\\1&-1\end{array}\rightp \ket{\eta} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+\lambda_j&1-\lambda_j\\1-\lambda_j&1+\lambda_j \end{pmatrix} \ket{\eta}.
Поэтому
\displaystyle \Xi(U) =\sum\limits_{j}^{} \overbrace{\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+\lambda_j&1-\lambda_j\\1-\lambda_j&1+\lambda_j \end{pmatrix} }^{R_j} \otimes\Pi_{\calL_j}.
Теперь подсчитаем условные вероятности. Собственные числа унитарного оператора равны по модулю 1, поэтому можно полагать \lambda_j= e^{2\pi\ii \varphi_j}. В результате имеем
\PP(0\big| j)=\left|\langle 0|R_j|0\rangle \right|^2= \left|\frac{1+\lambda_j}{2}\right|^2=\frac{1+\cos(2\pi\varphi)}{2}.

В дальнейшем именно с помощью такого оператора мы будем оценивать собственные числа. Для этого придется брать разные биты в качестве первых сомножителей (разные "приборы"). Конечно, следует убедиться, что это корректно (т.е., что вероятности будут перемножаться).

< Лекция 10 || Лекция 11: 12 || Лекция 12 >
Михаил Адигеев
Михаил Адигеев
Россия
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига