Измеряющие операторы
Введем особый класс операторов — измеряющие операторы. Пусть есть пространство состояний , причем первый сомножитель разложен в прямую сумму попарно ортогональных подпространств:
. Тогда всякий оператор вида
будем называть измеряющим.
Чтобы оправдать такое название, рассмотрим следующий процесс. Пусть имеется некоторое состояние, описываемое матрицей плотности . Подсоединим прибор ; совместное состояние системы и прибора описывается матрицей плотности
(мы считаем, что во втором сомножителе, описывающем прибор, есть выделенный базис, например, что это
).
Теперь применяем измеряющий оператор . Получаем состояние
![W\Bigl(\rho\otimes\ket{0^m}\bra{0^m}\Bigr)W^\dagger =\sum_{j}^{}\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}\otimes U_j\ket{0}\bra{0}U_j^\dagger](/sites/default/files/tex_cache/e4809001c97d4b494f8d55cec2964adc.png)
![\Pi^\dagger=\Pi](/sites/default/files/tex_cache/6ac963cdcd2020a0a280a03ba158bf60.png)
![\Pi^2=\Pi](/sites/default/files/tex_cache/c91e248b4798ef8ecb453157e495ce7b.png)
И последнее действие: прибор становится классическим. Это означает, что матрица диагонализуется по второму сомножителю. Посмотрим, во что переходят при этом вторые сомножители в написанной сумме:
![\gamma_j=\ket{\xi_j}\bra{\xi_j} \longmapsto \sum_{k}^{} \left| \langle k|\xi_j\rangle\right|^2 \ket{k}\bra{k} \quad\left(\text{так как } \left(\gamma_j\right)\raisebox{-2pt}{\big|}_{kk} = \langle k|\gamma_j|k\rangle\right).](/sites/default/files/tex_cache/fb58bcf058dc52269bf50479adbe744b.png)
![\sum_{j}^{}\sum_{k}^{}\left(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j} \left|\langle k|U_j|0\rangle \right|^2,\,k\right) = \sum_{j}^{}\sum_{k}^{}\PP(k\big|j)\left(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}, k\right),](/sites/default/files/tex_cache/a4d68add14f71e3c7654a8b8050cf613.png)
![\PP(k\big|j) = \left|\langle k|U_j|0\rangle \right|^2](/sites/default/files/tex_cache/1eaf492674e7904b0d6a3c0718b77768.png)
![\PP(k\big|j)=\delta_{kj}](/sites/default/files/tex_cache/9624538503f08ffd23dc45a17dfc188f.png)
Приведем примеры измеряющих операторов.
1. Оператор , действующий на пространстве
, — измеряющий.
1'. Нетривиально, что он измеряющий и по второй компоненте. Поскольку — унитарный оператор, его можно разложить в сумму проекторов на собственные подпространства:
,
. Тогда
. В этом случае условные вероятности равны
и
, поэтому такой оператор, хотя и является измеряющим по определению, фактически ничего не измеряет.
Замечание для физиков. Пусть — оператор фазового сдвига света при прохождении сквозь стеклянную пластинку. Мы можем разделить луч света на два, пропустив его через полупрозрачное зеркало, затем один из полученных лучей пропустить через стеклянную пластинку, а затем заставить полученные в результате лучи интерферировать. По картине интерференции можно узнать фазовый сдвиг.
Математический вариант предыдущего примера. Аналогом полупрозрачного зеркала будет служить оператор
![H=\displaystyle\frac{1}{\sqrt2} \leftp\begin{array}{rr}1&1\\1&-1\end{array}\rightp.](/sites/default/files/tex_cache/7d507b27ff34bce5870135a62d5bafcf.png)
![\Xi(U)=(H\otimes I)\Lambda(U)(H\otimes I).](/sites/default/files/tex_cache/abd818a031143523fb682686bf8e1cef.png)
![\ket{\psi}=\ket{\eta}\otimes\ket{\xi}](/sites/default/files/tex_cache/acfd9eb0e114bc66e93671856fd3ac68.png)
![\ket{\xi}\in\calL_j](/sites/default/files/tex_cache/dc61e6d609abe00468776c3d30835689.png)
![\Xi(U)\ket{\psi}](/sites/default/files/tex_cache/c6f8b79e5365391e9546252b739318d6.png)
![=\ket{\eta'}\otimes\ket{\xi}](/sites/default/files/tex_cache/d8d5ad500eebc69c1348ab7eaff97f59.png)
![\ket{\eta'}=\frac{1}{\sqrt2} \leftp\begin{array}{rr}1&1\\1&-1\end{array}\rightp \begin{pmatrix} 1&0\\0&\lambda_j \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2}\leftp\begin{array}{rr}1&1\\1&-1\end{array}\rightp \ket{\eta} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+\lambda_j&1-\lambda_j\\1-\lambda_j&1+\lambda_j \end{pmatrix} \ket{\eta}.](/sites/default/files/tex_cache/564567453ce89cefe93ec2e964960ce7.png)
![\displaystyle \Xi(U) =\sum\limits_{j}^{} \overbrace{\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+\lambda_j&1-\lambda_j\\1-\lambda_j&1+\lambda_j \end{pmatrix} }^{R_j} \otimes\Pi_{\calL_j}.](/sites/default/files/tex_cache/ccecc0a9838ee18f0c1924b1d0b6cf49.png)
![\lambda_j= e^{2\pi\ii \varphi_j}](/sites/default/files/tex_cache/04bf29ffe66577ecb44126e1d3ca7d4f.png)
![\PP(0\big| j)=\left|\langle 0|R_j|0\rangle \right|^2= \left|\frac{1+\lambda_j}{2}\right|^2=\frac{1+\cos(2\pi\varphi)}{2}.](/sites/default/files/tex_cache/cfa5be1c99722f317f44372e48202357.png)
В дальнейшем именно с помощью такого оператора мы будем оценивать собственные числа. Для этого придется брать разные биты в качестве первых сомножителей (разные "приборы"). Конечно, следует убедиться, что это корректно (т.е., что вероятности будут перемножаться).