Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 576 / 7 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00
Специальности: Программист
Лекция 5:

Квантовые вычисления

< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >
Аннотация: В лекции дается понятие квантовых вычислений, рассматриваются отличия пространства состояний обычного и квантового компьютеров, приводятся определения элементарных преобразований в классическом и квантовом случаях, вводится понятие бра- и кет-векторов, дается понятие квантовых схем и реализуемых ими операторов.

Как уже говорилось во введении, обычные компьютеры не используют всех возможностей, предоставляемых природой. В них выполняются преобразования на конечных множествах состояний (действия с 0 и 1), а в природе есть возможность делать унитарные преобразования, т.е. действовать на бесконечном множестве1Конечно, настоящей бесконечности в природе не бывает. В данном случае дело в том, что унитарное преобразование можно задать лишь с некоторой точностью - подробности см. в "лекции 7" . Эта возможность описывается квантовой механикой. Устройства (реальные или воображаемые), использующие эту возможность, называются квантовыми компьютерами.

Заранее неясно, увеличиваются ли вычислительные возможности при переходе от преобразований конечных множеств к унитарным преобразованиям конечномерных пространств. Сейчас есть основания полагать, что такое увеличение действительно происходит. В качестве примера можно привести задачу о разложении числа на множители: для обычных компьютеров неизвестны полиномиальные алгоритмы ее решения, а для квантовых компьютеров такие алгоритмы есть.

Обычный компьютер работает с состояниями из конечного числа битов. Каждый бит может находиться в одном из двух состояний 0 или 1. Состояние всей системы задается указанием значений всех битов. Поэтому множество состояний \cb^n=\{0,1\}^n конечно и имеет мощность 2^n.

Квантовый компьютер работает с конечными наборами элементарных состояний, называемых q-битами. Каждый q-бит имеет два выделенных состояния (если считать q-биты спинами, то это состояния "спин вверх" и "спин вниз"). Указание выделенных состояний для каждого q-бита системы задает не все возможные состояния системы, а только базисные. Возможны также любые линейные комбинации базисных состояний с комплексными коэффициентами. Базисные состояния мы будем обозначать \ket{x_1,\dots,x_n}, где x_j\in\cb, или \ket{x}, где x\in\cb^n. Произвольное состояние системы может быть представлено в виде2Скобки \ket{\dots} в записи \ket{\psi} не обозначают никакой операции над объектом \psi — они просто указывают на то, что \psi является вектором.

\ket{\psi} = \sum_{(x_1,\dots,x_n)\in\cb^n}^{} c_{x_1,\dots,x_n} \ket{x_1,\dots,x_n}, \
			\mbox{где}\ \sum_{(x_1,\dots,x_n)\in\cb^n}|c_{x_1,\dots,x_n}|^2=1.

Пространство состояний для такой системы — конечномерное (размерности 2^n ) пространство над полем комплексных чисел.

Состояния
Обычного компьютера квантового компьютера

\square&\square&\cdots&\square& биты

x_1&x_2&\dots&x_n&x_j\in\cb

\square&\square&\cdots&\square& q-биты

базисное: \,| &x_1,&x_2,&\dots,&x_n&\rangle, x_j\in\cb

произвольное: \sum\limits_{x\in\cb^n}c_{x}|x\rangle, \text{где } \sum\limits_{x\in\cb^n}|c_{x}|^2=1}

Небольшое уточнение: если умножить вектор \sum_x c_x\ket{x} на фазовый множитель, e^{\ii\phi}, ( \phi — вещественное), то получится физически неотличимое состояние. Таким образом, состояние квантового компьютера — это вектор единичной длины, заданный с точностью до фазового множителя.

Вычисление можно представлять как последовательность преобразований на множестве состояний системы. Опишем, какие преобразования возможны в классическом, а какие — в квантовом случае.

Классический случай: Квантовый случай:
преобразования — это функции из \cb^n в \cb^n преобразования — это унитарные операторы, то есть операторы, сохраняющие длину вектора \sum_{x\in\cb^n}\limits|c_{x}|^2.

Замечание. Все сказанное относится только к замкнутым системам. Реальный квантовый компьютер — это часть большой системы (Вселенной), взаимодействующая с остальным миром. Квантовые состояния и преобразования открытых систем будут рассмотрены в разделах 9-10.

Теперь нужно дать формальное определение квантового вычисления. Как и в классическом случае, можно определить квантовые машины Тьюринга или квантовые схемы. Мы выбираем второй подход, который удобнее по ряду причин.

< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >
Михаил Адигеев
Михаил Адигеев
Россия
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига