Квантовые вычисления
Определения и обозначения
Пространство состояний системы из q-битов можно записать в виде тензорного произведения . Сомножители соответствуют пространству состояний одного q-бита.
Тензорное произведение двух пространств и , в которых фиксированы базисы и , можно определить как пространство с базисом из элементов . (В данном случае — это то же самое, что , т.е. просто пара векторов.) Размерность тензорного произведения равна (произведению размерностей сомножителей).
Такое определение неинвариантно, т.е. зависит от выбора базисов в перемножаемых пространствах. Можно дать инвариантное определение. Для этого рассмотрим вначале пространство (бесконечномерное) с базисом , где , — произвольные векторы из перемножаемых пространств. Тензорное произведение будет факторпространством этого пространства по подпространству, порожденному векторами вида
Другими словами, указанные векторы считаются равными 0.Можно доказать, что данные определения эквивалентны.
В нашем случае имеется естественный выделенный базис (соответствующий выделенным состояниям): для — , а для — . Пространство с выделенным базисом обозначается через . Выделенный базис считается ортонормированным, это задает скалярное произведение на пространстве состояний. Коэффициенты разложения вектора по этому базису называются амплитудами. Их физический смысл состоит в том, что квадрат модуля амплитуды интерпретируется как вероятность обнаружить систему в данном базисном состоянии. Как и должно быть, суммарная вероятность всех состояний равна , поскольку длина вектора предполагается единичной. (Вероятности будут подробно обсуждаться позже; до некоторых пор мы будем заниматься линейной алгеброй — изучать унитарные операторы на пространстве ).
Мы будем использовать (и уже использовали) принятые в физике обозначения, относящиеся к векторам и скалярному произведению в гильбертовом пространстве (их ввел Дирак). Векторы обозначаются , скалярное произведение — . Если и , то . (Здесь и далее обозначает комплексное сопряжение.) В записи векторов скобки нужны лишь "для красоты" — они указывают на тип объекта и придают симметрию обозначениям (см. ниже). Вместо можно было бы написать просто , хотя это и не принято. Поэтому — и то, и другое обозначает вектор .
Скалярное произведение антилинейно по первому аргументу3Обратите внимание, что математики обычно считают, что скалярное произведение в унитарном пространстве антилинейно по второму аргументу. и линейно по второму, т.е.
Если в обозначении скалярного произведения взять левую половину, то получим бра-вектор , т.е. линейный функционал на кет-векторах (векторах нашего пространства). Бра- и кет-векторы находятся во взаимно однозначном соответствии. (Тем не менее, нужно их как-то различать — именно для этого и были введены угловые скобки.) Из-за антилинейности скалярного произведения по первому аргументу имеем равенство . Бра-вектор можно записать в виде строки, а кет-вектор — в виде столбца (чтобы его можно было умножить слева на матрицу):
Запись ( — линейный оператор) можно толковать двояко: либо как скалярное произведение вектора на вектор , либо как — на . Так появляется сопряженный оператор : по определению, (бра-вектор, соответствующий ) равен линейному функционалу . Из определения сразу следует, что
Унитарный оператор — это линейный оператор, сохраняющий скалярное произведение. Условие
эквивалентно тому, что (где — тождественный оператор).Наше определение скалярного произведения в согласовано с тензорным произведением:
В дальнейшем будет использоваться тензорное произведение операторов. Оно действует в тензорном произведении пространств, на которых действуют сомножители, по правилу Если операторы заданы в матричном виде в некотором базисе, т.е. (легко понять, что — линейный оператор: ), то матричные элементы оператора имеют вид .Вычисление состоит из преобразований, считаемых элементарными (выполняемых за единицу времени).
Элементарное преобразование в классическом случае: такая функция из в , которая зависит от небольшого (не зависящего от ) числа битов и изменяет также небольшое число битов. | Элементарное преобразование в квантовом случае: тензорное произведение произвольного унитарного оператора, действующего на части сомножителей , где мало ( ), и тождественного оператора, действующего на остальных сомножителях. |
Тензорное произведение некоторого оператора , действующего на множестве q-битов , и тождественного оператора, действующего на остальных q-битах, будем обозначать . (В частности, обозначает действие на первых q-битах.)