Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 576 / 7 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00
Специальности: Программист
Лекция 9:

Квантовые вероятности

< Лекция 8 || Лекция 9: 12 || Лекция 10 >
Аннотация: В лекции рассматриваются "физические" аспекты квантовых вычислений, приведено сравнение свойств классической и квантовой вероятностей, дается определение матрицы плотности, чистого и смешанного состояний, а также частичного следа от оператора по пространству.

Перейдем теперь к обсуждению некоторых "физических" аспектов квантовых вычислений. Пусть система из n q-битов находится в состоянии \ket\psi=\sum_{x}^{}c_x\ket{x}. Коэффициенты разложения по выделенному базису (классических состояний) называются амплитудами. Квадрат модуля амплитуды |c_x|^2 равен вероятности обнаружить систему в состоянии x (сравните с (8.1)). Другими словами, при измерении состояния этой квантовой системы будут получаться классические состояния, распределенные как |c_x|^2.

Определенная формулой (8.1) величина обладает основными свойствами обычной вероятности. Тот факт, что квадрат модуля амплитуды — это вероятность наблюдения системы в состоянии x, согласуется с тем, что физические состояния в квантовой механике соответствуют векторам единичной длины, а преобразования этих состояний не меняют длины, т.е. унитарны. Действительно, \langle \psi|\psi\rangle =\sum_{x}^{}|c_x|^2=1 (сумма вероятностей равна 1), а применение физически реализуемого оператора должно сохранять это соотношение, т.е. должно быть унитарным.

Формулы (8.1) достаточно для определения квантового вычисления и класса BQP. Однако есть вопросы, в которых это определение оказывается неудобным или неприменимым. Два основных примера: измеряющие операторы и алгоритмы, построенные на их основе, и задача построения надежных квантовых схем из ненадежных элементов (исправление ошибок).

Поэтому мы построим определение квантовой вероятности, в котором обобщается как то, что мы наблюдаем (состояние системы), так и результат наблюдения. К этому общему определению мы придем, рассматривая ряд примеров. Для начала перепишем уже полученное выражение для вероятности в виде

|c_x|^2=|\langle \psi|x\rangle |^2=\langle \psi \overbrace{|x\rangle \langle x|}^{\vbox to2pt{\vss\hbox{$\scriptstyle\Pi_x$}}}\psi\rangle,
где через \Pi_x обозначен проектор на подпространство, порожденное \ket{x}.

Чтобы сделать следующий шаг к общему определению квантовой вероятности, подсчитаем вероятность того, что первые m битов имеют заданное значение y=(y_1,\dots,y_m). Для этого представим состояние в виде двух блоков.

Имеем

\begin{multline*}
\hskip-2pt
\PP(\ket\psi, y)=%\\=
\sum_{z}^{}\PP(\ket\psi,(y,z))
=\sum_{z}^{}\langle \psi\big|\, |y,z\rangle \langle y,z|
\big|\psi\rangle = \langle \psi\big|\, |y\rangle \langle y|\otimes
I\big| \psi\rangle =\\[-2pt]
=\langle \psi|\Pi_\calM|\psi\rangle.
\label{кв-вер-проектор}\index{Квантовая вероятность!для чистого состояния}
\end{multline*} ( 9.1)

\Pi_\calM здесь обозначает проектор на подпространство \calM= \ket{y}\otimes\BB^{\otimes(n-m)}. Формула (9.1) задает определение квантовой вероятности и в том случае, когда \calMпроизвольное подпространство.

В этом случае проектор на подпространство \calM\subseteq\calN определяется как \Pi_\calM=\sum_{j}^{}\ket{e_j}\bra{e_j}, где e_j пробегают любой ортонормированный базис \calM.

Замечание 9.1. Величина \sum_z\bigl|\,\langle F(x),z|\: U\:|x,0^{N-n}\rangle\,\bigr|^2, которая используется в определении вычисления функции из \cb^n в \cb^m квантовой схемой (см. "Определение квантового вычисления. Примеры" ), равна \PP\Bigl(U\ket{x,0^{N-n}},\calM\Bigr), где \calM= \ket{F(x)}\otimes\BB^{N-m}. Еще раз напомним смысл этого определения: схема U=U_L\cdot\ldots\cdot U_2U_1 вычисляет F\colon\cb^n\to\cb^m, если для любого x вероятность наблюдения правильного ответа F(x) после применения схемы к начальному состоянию U\ket{x,0^{N-n}} больше 1-\varepsilon.

Проекторы не являются физически реализуемыми операторами, точнее говоря, они не описывают переход от одного состояния системы к другому за определенный промежуток времени. Такой переход описывается унитарными операторами. Все же, допуская некоторую вольность, проекторам можно придать физический смысл. Проектор выделяет часть состояний системы из всех возможных. Представьте фильтр (устройство, а не теоретико-множественное понятие), который пропускает только системы в состояниях из \calM. Если на такой фильтр подать систему в состоянии \ket\psi, то сквозь фильтр пройдет система в состоянии \ket\xi=\Pi_\calM\ket\psi. Суммарная вероятность выделенных состояний, вообще говоря, меньше 1, она равна p=\langle\xi|\xi\rangle=\langle\psi|\Pi_\calM|\psi\rangle. Число 1-p определяет вероятность того, что система сквозь фильтр не пройдет.

Сравним свойства классической и квантовой вероятности.

Классическая вероятность Квантовая вероятность
Определение

Событие M\subseteq N — подмножество некоторого конечного множества. Распределение вероятностей задается функцией w\colon N\to\RR со свойствами а) \sum_{}^{}w_j=1 ; б) w_j\geq0. Вероятность: \Pr(w,M)\,{=}\sum_{j\in M}^{} w_j.

Событие \calM — подпространство некоторого конечномерного унитарного пространства \calN. Распределение вероятностей задается вектором состояния \ket\psi, \;\langle \psi|\psi\rangle =1. Вероятность: \PP(\ket\psi,\calM)=\bra\psi\Pi_\calM\ket\psi.

Свойства

1. Если M_1\cap M_2=\varnothing, то \Pr(w,M_1\cup M_2)= \Pr(w,M_1)+\Pr(w,M_2)

1q. Если \calM_1\perp\calM_2, то \PP(\ket\psi, \calM_1\oplus\calM_2)= \PP(\ket\psi, \calM_1)+\PP(\ket\psi,\calM_2).

2. (в общем случае) \Pr(w,M_1\cup M_2)=\Pr(w,M_1)+ +\Pr(w,M_2)-\Pr(w,M_1\cap M_2). 2q. Если \Pi_{\calM_1}\Pi_{\calM_2}=\Pi_{\calM_2}\Pi_{\calM_1}, то \PP(\ket\psi, \calM_1+\calM_2)= \PP(\ket\psi, \calM_1)+\\
+ \PP(\ket\psi,\calM_2)-\PP(\ket\psi,\calM_1\cap\calM_2).

Заметим, что условие \calM_1\perp\calM_2 эквивалентно условию \Pi_{\calM_1}\Pi_{\calM_2}\double=\Pi_{\calM_2}\Pi_{\calM_1}=0.

Если есть два неортогональных подпространства с пустым пересечением, то квантовая вероятность необязательно аддитивна. Приведем простой пример, когда \PP(\ket\xi, \calM_1\oplus\calM_2)\ne \PP(\ket\xi, \calM_1)+\PP(\ket\xi,\calM_2).

Пусть \ket\xi=\ket0, \calM_1=\CC(\ket{0}) (линейное подпространство, порожденное вектором \ket 0 ), \calM_2=\CC(\ket{\eta}), причем \langle \xi|\eta\rangle близко к 1. Тогда

1=\PP(\ket\xi, \calM_1\oplus\calM_2)\ \ne\ \PP(\ket\xi, \calM_1)+\PP(\ket\xi,\calM_2)\approx1+1.

Итак, мы определили в наиболее общем виде то, что мы измеряем. Теперь нужно обобщить то, над чем проводится измерение. В результате получим определение вероятности, обобщающее как классическую, так и квантовую вероятность.

Рассмотрим распределение вероятностей на конечном множестве квантовых состояний \{\ket{\xi_1},\dots,\ket{\xi_s}\}. Вероятность состояния \ket{\xi_j} обозначим p_j, очевидно, что \sum_{j}^{}p_j=1. Подсчитаем вероятность наблюдения состояния в подпространстве \calM:

\begin{multiline}
\sum_{k}^{}p_k\,\PP(\ket{\xi_k},\calM)\, =%\\=
\sum_{k}^{}p_k\,\langle\xi_k|\Pi_\calM|\xi_k\rangle\, =
\sum_{k}^{}p_k\,Tr( \ket{\xi_k}\bra{\xi_k}\Pi_\calM)\, 
=Tr(\rho\Pi_\calM),
\end{multiline} ( 9.2)
где через \rho обозначена матрица плотности1В действительности это оператор, а не матрица, однако название "матрица плотности" уже стало традиционным. Впрочем, в дальнейшем мы часто будем иметь в виду именно матрицу, т.е. оператор, записанный в выделенном базисе. \rho=\sum_{k}^{}p_k\ket{\xi_k}\bra{\xi_k}. Последнее выражение в (9.2) и примем за общее определение вероятности.

< Лекция 8 || Лекция 9: 12 || Лекция 10 >
Михаил Адигеев
Михаил Адигеев
Россия
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига