Квантовые вероятности
Задача 9.1. Докажите, что операторы вида — это в точности эрмитовы неотрицательно определенные операторы со следом 1, т.е. операторы, удовлетворяющие условиям:

В дальнейшем под матрицей плотности понимается любой оператор с этими свойствами.
Рассуждение о "распределении вероятностей на квантовых состояниях" носило вспомогательный характер. Задача состоит в том, чтобы обобщить понятие квантового состояния так, чтобы оно включало в себя классические распределения вероятностей. Полученный нами ответ (последнее выражение в (9.2)) зависит лишь от матрицы плотности, поэтому мы можем постулировать, что обобщенные квантовые состояния и матрицы плотности — это одно и то же (такая аксиома не противоречит физическим наблюдениям). Если состояние задается одним вектором ( ), то оно называется чистым, если состояние задается общей матрицей плотности, то оно называется смешанным.
Определение 9.1. Для квантового состояния, задаваемого матрицей плотности , и подпространства
вероятность "события"
равна
.
Диагональные матрицы соответствуют классическим распределениям вероятностей на множестве базисных векторов. Это означает, что при вычислении вероятности по общей квантовой формуле для диагональной матрицы и координатного подпространства
(натянутого на часть базисных векторов
:
) получается то же, что и при вычислении по обычной классической формуле:
.
Продолжим сравнение свойств классической и квантовой вероятности, под последней мы будем теперь понимать общее определение с использованием матриц плотности. (Свойства и
остаются в силе).
Определение 9.2. Пусть . Частичный след оператора
по пространству
определен следующим образом: если
, то
.
Докажем, что это определение корректно, т.е. не зависит от выбора слагаемых в представлении . Для этого зафиксируем некоторые ортонормированные базисы в пространствах
и выразим частичный след через матричные элементы
. Пусть
и
. Тогда


Рассмотрим пример, когда взятие частичного следа от матрицы плотности, соответствующей чистому состоянию, приводит к матрице плотности, соответствующей смешанному состоянию.
Пусть , а
, где
. В этом случае
, поэтому получаем




Утверждение 9.1. Любое смешанное состояние представимо как частичный след
от чистого состояния большей системы,
, причем можно считать, что
.
Доказательство. Полагаем . Так как
неотрицательно определена, то существует
. Докажем, что для
выполнено искомое, т.е.
.
Поскольку эрмитова, она диагонализуется в некотором ортонормированном базисе
. Тогда
, а
, и
. Вклад в частичный след вносят лишь слагаемые с
. Поэтому
.
Задача 9.2. Пусть имеется чистое состояние . Докажите, что существует так называемое разложение Шмидта:




Заметим, что числа — это ненулевые собственные числа частичных следов
и
. (Таким образом, ненулевые собственные числа
и
совпадают.) Отсюда следует, что взятие частичного следа от чистого состояния приводит к чистому состоянию тогда и только тогда, когда исходное состояние разложимо:
.
Задача 9.3. Пусть — два чистых состояния, таких что
. Докажите, что
для некоторого унитарного оператора
на пространстве
.