Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 611 / 26 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00
Специальности: Программист
Лекция 9:

Квантовые вероятности

< Лекция 8 || Лекция 9: 12 || Лекция 10 >

Задача 9.1. Докажите, что операторы вида \rho=\sum_{k}^{}p_k\ket{\xi_k}\bra{\xi_k} — это в точности эрмитовы неотрицательно определенные операторы со следом 1, т.е. операторы, удовлетворяющие условиям:

2)\; \rho=\rho^\dagger;\qquad 2)\; \forall\,\ket{\eta}\  \langle\eta|\rho|\eta\rangle \geq0; \qquad 3)\; Tr\rho=1.

В дальнейшем под матрицей плотности понимается любой оператор с этими свойствами.

Рассуждение о "распределении вероятностей на квантовых состояниях" носило вспомогательный характер. Задача состоит в том, чтобы обобщить понятие квантового состояния так, чтобы оно включало в себя классические распределения вероятностей. Полученный нами ответ (последнее выражение в (9.2)) зависит лишь от матрицы плотности, поэтому мы можем постулировать, что обобщенные квантовые состояния и матрицы плотности — это одно и то же (такая аксиома не противоречит физическим наблюдениям). Если состояние задается одним вектором ( \rho=\ket{\xi}\bra{\xi} ), то оно называется чистым, если состояние задается общей матрицей плотности, то оно называется смешанным.

Определение 9.1. Для квантового состояния, задаваемого матрицей плотности \rho, и подпространства \calM вероятность "события" \calM равна \PP(\rho,\calM)= Tr(\rho\Pi_\calM).

Диагональные матрицы \rho=\sum_{j}^{} w_j\ket{j}\bra{j} соответствуют классическим распределениям вероятностей на множестве базисных векторов. Это означает, что при вычислении вероятности по общей квантовой формуле для диагональной матрицы и координатного подпространства \calM (натянутого на часть базисных векторов \ket{a}: a\in M ) получается то же, что и при вычислении по обычной классической формуле: \PP(\rho,\calM)=\Pr(w,M).

Продолжим сравнение свойств классической и квантовой вероятности, под последней мы будем теперь понимать общее определение с использованием матриц плотности. (Свойства 1^{\rm q} и 2^{\rm q} остаются в силе).

Классическая вероятность Квантовая вероятность
Свойства
3. На множестве N=N_1\times N_2 задано распределение вероятностей вида w_{jk}\double= w^{(1)}_jw^{(2)}_k. Имеется два множества исходов M_1\subseteq N_1, M_2\subseteq N_2. Тогда вероятности перемножаются: \Pr(w,M_1\times M_2) \double= \Pr(w^{(1)},M_1)\,\Pr(w^{(2)},M_2). 3q. На пространстве \calN=\calN_1\otimes\calN_2 задана матрица плотности вида \rho_1\otimes\rho_2. Имеется два подпространства \calM_1\subseteq \calN_1, \calM_2\subseteq \calN_2. Тогда вероятности также перемножаются: \PP(\rho_1\otimes\rho_2, \calM_1\otimes\calM_2)\double= \PP(\rho_1, \calM_1)\,\PP(\rho_2,\calM_2).
4. Имеется совместное распределение на множестве N_1\times N_2. Интересующее нас событие не зависит от исхода во втором множестве: M=M_1\times N_2. Вероятность такого события выражается через проекцию распределения на первое множество: \Pr(w,M_1\times N_2)\,=\,\Pr(w',M_1), где w'_j=\sum_{k}w_{jk}. 4q. В квантовом случае ограничение на одну из подсистем задается операцией взятия частичного следа (см. ниже). Поэтому, даже если исходное состояние было чистым, полученное состояние подсистемы может оказаться смешанным: \PP(\rho, \calM_1\otimes\calN_2)=\PP(\Tr_{\calN_2}\rho,\calM_1).

Определение 9.2. Пусть X\in\LL(\calN_1\otimes\calN_2)=\LL(\calN_1)\otimes \LL(\calN_2). Частичный след оператора X по пространству \calN_2 определен следующим образом: если X=\sum_{m}^{} A_m\otimes B_m, то \Tr_{\calN_2}X=\sum_{m}^{} A_m\, (\Tr B_m).

Докажем, что это определение корректно, т.е. не зависит от выбора слагаемых в представлении X=\sum_{m} A_m\otimes B_m. Для этого зафиксируем некоторые ортонормированные базисы в пространствах \calN_1,\, \calN_2 и выразим частичный след через матричные элементы X_{jj'kk'}=\bra{j,j'}X\ket{k,k'}. Пусть A_m= \sum\limits_{j,k}^{}a^m_{jk}\ket{j}\bra{k} и B_m= \sum\limits_{j',k'}^{}b^m_{j'k'}\ket{j'}\bra{k'}. Тогда

X=\mkern-5mu\sum\limits_{j,j',k,k'}^{}\mkern-2mu X_{jj'kk'}\ket{j,j'}\bra{k,k'}=\sum_{m}^{} A_m\otimes B_m= \mkern-5mu \sum\limits_{j,j'k,k',m}^{}\mkern-2mu a^m_{jk}b^m_{j'k'}\ket{j,j'}\bra{k,k'}
и частичный след равен
&\Tr_{\calN_2}X=\sum_{m}^{} \sum_{j,k}^{}a^m_{jk}\Bigl(\sum_{l}^{}b^m_{ll}\Bigr)\ket{j}\bra{k} =\sum_{j,k}^{}\sum_{l}^{}X_{jlkl} \ket{j}\bra{k}.

Рассмотрим пример, когда взятие частичного следа от матрицы плотности, соответствующей чистому состоянию, приводит к матрице плотности, соответствующей смешанному состоянию.

Пусть \calN_1=\calN_2= \BB, а \rho=\ket\psi\bra\psi, где \ket\psi=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{0,0}+\ket{1,1}\right). В этом случае \rho=\frac{1}{2}\sum\limits_{a,b}^{}\ket{a,a}\bra{b,b}, поэтому получаем

Tr_{\calN_2}\rho\,=\,\frac{1}{2}\sum_{a}\ket{a}\bra{a}\,=\, \begin{pmatrix}1/2&0\\0&1/2\end{pmatrix}.
Эта матрица соответствует смешанному состоянию (чистым состояниям соответствуют матрицы ранга 1). Более того, это смешанное состояние эквивалентно классическому распределению вероятностей: 0 и 1 имеют вероятности, равные \slashfrac{1}{2}. Таким образом, отбрасывание второго q-бита приводит к чисто классическому распределению вероятностей на первом q-бите.

Утверждение 9.1. Любое смешанное состояние \rho\in\LL(\calN) представимо как частичный след \Tr_\calF(\ket\psi\bra\psi) от чистого состояния большей системы, \ket\psi\in\calN\otimes\calF, причем можно считать, что \dim\calF\leq\dim\calN.

Доказательство. Полагаем \calF=\calN^*. Так как \rho неотрицательно определена, то существует \sqrt\rho\in\LL(\calN)=\calN\otimes\calN^*. Докажем, что для \ket\psi=\sqrt\rho выполнено искомое, т.е. \rho=\Tr_{\calN^*}(\ket{\sqrt\rho}\bra{\sqrt\rho}).

Поскольку \rho эрмитова, она диагонализуется в некотором ортонормированном базисе \{\ket{\xi_j}\}. Тогда \rho=\sum_{j}p_j\ket{\xi_j}\bra{\xi_j}, а \ket\psi= \sqrt\rho= \sum_{j}\sqrt{p_j}\ket{\xi_j}\bra{\xi_j}, и \ket\psi\bra\psi=\sum_{jk}^{}\sqrt{p_jp_k}(\ket{\xi_j}\otimes\bra{\xi_j}) (\ket{\xi_k}\otimes\bra{\xi_k}). Вклад в частичный след вносят лишь слагаемые с j=k. Поэтому Tr_{\calN^*}(\ket{\psi}\bra{\psi})\double= \sum_{j}p_j\ket{\xi_j}\bra{\xi_j} =\rho.

Задача 9.2. Пусть имеется чистое состояние \ket{\psi}\in\calN\otimes\calF. Докажите, что существует так называемое разложение Шмидта:

\ket\psi=\sum_j\lambda_j\ket{\xi_j}\otimes\ket{\eta_j},
где 0<\lambda_j\le 1, а множества векторов \{\ket{\xi_j}\}\subset\calN и \{\ket{\eta_j}\}\subset\calF являются ортонормированными.

Заметим, что числа \lambda_j^2 — это ненулевые собственные числа частичных следов \rho=Tr_\calF(\ket\psi\bra\psi) и \rho'=Tr_\calN(\ket\psi\bra\psi). (Таким образом, ненулевые собственные числа \rho и \rho' совпадают.) Отсюда следует, что взятие частичного следа от чистого состояния приводит к чистому состоянию тогда и только тогда, когда исходное состояние разложимо: \ket\psi=\ket{\xi}\otimes\ket{\eta}.

Задача 9.3. Пусть \ket{\psi_1},\ket{\psi_2}\in\calN\otimes\calF — два чистых состояния, таких что Tr_\calF(\ket{\psi_1}\bra{\psi_1})=Tr_\calF(\ket{\psi_2}\bra{\psi_2}). Докажите, что \ket{\psi_2}=(I_{\calN}\double\otimes U)\ket{\psi_1} для некоторого унитарного оператора U на пространстве \calF.

< Лекция 8 || Лекция 9: 12 || Лекция 10 >