Квантовые вычисления

Как уже говорилось во введении, обычные компьютеры не используют всех возможностей, предоставляемых природой. В них выполняются преобразования на конечных множествах состояний (действия с 0 и 1), а в природе есть возможность делать унитарные преобразования, т.е. действовать на бесконечном множестве^{1Конечно, настоящей бесконечности в природе не бывает. В данном случае дело в том, что унитарное преобразование можно задать лишь с некоторой точностью - подробности см. в "лекции 7" .} Эта возможность описывается квантовой механикой. Устройства (реальные или воображаемые), использующие эту возможность, называются квантовыми компьютерами.

Заранее неясно, увеличиваются ли вычислительные возможности при переходе от преобразований конечных множеств к унитарным преобразованиям конечномерных пространств. Сейчас есть основания полагать, что такое увеличение действительно происходит. В качестве примера можно привести задачу о разложении числа на множители: для обычных компьютеров неизвестны полиномиальные алгоритмы ее решения, а для квантовых компьютеров такие алгоритмы есть.

Обычный компьютер работает с состояниями из конечного числа битов. Каждый бит может находиться в одном из двух состояний 0 или 1. Состояние всей системы задается указанием значений всех битов. Поэтому множество состояний конечно и имеет мощность .

Квантовый компьютер работает с конечными наборами элементарных состояний, называемых q-битами. Каждый q-бит имеет два выделенных состояния (если считать q-биты спинами, то это состояния "спин вверх" и "спин вниз"). Указание выделенных состояний для каждого q-бита системы задает не все возможные состояния системы, а только базисные. Возможны также любые линейные комбинации базисных состояний с комплексными коэффициентами. Базисные состояния мы будем обозначать , где , или , где . Произвольное состояние системы может быть представлено в виде^{2Скобки в записи не обозначают никакой операции над объектом — они просто указывают на то, что является вектором.}

Пространство состояний для такой системы — конечномерное (размерности ) пространство над полем комплексных чисел.

Небольшое уточнение: если умножить вектор на фазовый множитель, , ( — вещественное), то получится физически неотличимое состояние. Таким образом, состояние квантового компьютера — это вектор единичной длины, заданный с точностью до фазового множителя.

Вычисление можно представлять как последовательность преобразований на множестве состояний системы. Опишем, какие преобразования возможны в классическом, а какие — в квантовом случае.

Классический случай:	Квантовый случай:
преобразования — это функции из в	преобразования — это унитарные операторы, то есть операторы, сохраняющие длину вектора .

Замечание. Все сказанное относится только к замкнутым системам. Реальный квантовый компьютер — это часть большой системы (Вселенной), взаимодействующая с остальным миром. Квантовые состояния и преобразования открытых систем будут рассмотрены в разделах 9-10.

Теперь нужно дать формальное определение квантового вычисления. Как и в классическом случае, можно определить квантовые машины Тьюринга или квантовые схемы. Мы выбираем второй подход, который удобнее по ряду причин.