Измеряющие операторы
Свойства измеряющих операторов.
Мы будем рассматривать измеряющие операторы, соответствующие одному и тому же ортогональному разложению .
1. Произведение измеряющих операторов — измеряющий оператор. Действительно, пусть есть два измеряющих оператора
![W^{(1)}=\sum_{j}^{} R^{(1)}_j\otimes\Pi_{\calL_j} \text{ и } W^{(2)}=\sum_{j}^{} R^{(2)}_j\otimes\Pi_{\calL_j}.](/sites/default/files/tex_cache/256236350e5ab2c6e158c0f4944b8749.png)
![\Pi_{\calL_j}\Pi_{\calL_k}\ne0\ \ \Leftrightarrow j=k](/sites/default/files/tex_cache/2d6ebe7f2e74dbbd28177ff47dab9c87.png)
![W^{(2)}W^{(1)}=\sum_{j}^{} R^{(2)}_jR^{(1)}_j\otimes\Pi_{\calL_j}.](/sites/default/files/tex_cache/61957076174f7869a61da47163e9fa27.png)
2. Условные вероятности для произведения измеряющих "разными приборами" операторов перемножаются. Более точно, пусть , а
. Тогда
. Это равенство следует непосредственно из определения условных вероятностей и из очевидного тождества
![\Bigl(\bra{\xi_1}\otimes\bra{\xi_2}\Bigr) \Bigl(U_1\otimes U_2\Bigr) \Bigl(\ket{\eta_1}\otimes\ket{\eta_2}\Bigr)= \bra{\xi_1}U_1\ket{\eta_1}\,\bra{\xi_2}U_2\ket{\eta_2}.](/sites/default/files/tex_cache/2bdcc9332ed476944dffa8799f241ff1.png)
3. Формула полной вероятности. Пусть есть измеряющий оператор . Если применить его к состоянию
, где
, то вероятность наблюдения состояния
можно записать в виде:
![\PP\Bigl(W(\ket0\bra0\otimes\rho)W^\dagger,\,\CC(\ket{k})\otimes\calN\Bigr) \,=\, \sum\limits_{j} \PP(k\big| j) \PP(\rho, \calL_j).](/sites/default/files/tex_cache/d0267f15c494fc8fdde74151d8955d25.png)
Доказательство. . Ранее было доказано, что
. Далее,
![\Tr_\calN\gamma = \sum\limits_{j}^{} \left(R_j\ket0\bra0 R_j^\dagger\right)\times \Tr\left(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}\right).](/sites/default/files/tex_cache/5c63cfb321e62219ab998573f15a1a0f.png)
![\Tr\left(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}\right)= \Tr\left(\Pi_{\calL_j}^2\rho\right)= \Tr\left(\Pi_{\calL_j}\rho\right)\bydef \PP\left(\rho, \calL_j\right),](/sites/default/files/tex_cache/7fa1d779373d55270547ebedaa534ca6.png)
![\PP\bigl(\gamma,\,\CC(\ket{k})\otimes\calN\bigr)= \sum\limits_{j}^{} \PP(k\big| j) \PP(\rho, \calL_j)](/sites/default/files/tex_cache/60f627e4b45297f135935d87b19856b7.png)
Задача 11.1. Докажите формулу полной вероятности напрямую, не используя взятия частичного следа.
Задача 11.2. "Обратимое измерение" Пусть — измеряющий оператор,
. (Имеется в виду, что операторы
действуют на
q-бит; первые
q-бит (т.е.
) — "полезный результат", остальные
q-бит (т.е.
) — "мусор".) Допустим, что
измеряет некоторую функцию
с вероятностью ошибки
, т.е.
![\PP(f(k)\,|k)\ \bydef\ \sum_z|c_{f(k),z}(k)|^2\ \ge\ 1-\eps.](/sites/default/files/tex_cache/8924d0f9552b2ef6f526db3bf606696a.png)
![W](/sites/default/files/tex_cache/61e9c06ea9a85a5088a499df6458d276.png)
![W^{-1}](/sites/default/files/tex_cache/849b22bf62e5e550d61e0766b3579669.png)
![O(\eps^{1/2})](/sites/default/files/tex_cache/140110e743d77d083e6400ef232ff893.png)
![U = \sum_{k=1}^{t}\Pi_{\calL_k}\otimes Q_{f(k)}\,, \quad\mbox{где}\ Q_v\ket{y}\,=\,\ket{y\xor v}.](/sites/default/files/tex_cache/ba39a8a32bc853735b955a76246ea8ba.png)