Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 580 / 9 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00
Специальности: Программист
Дополнительный материал 1:

Решения задач

< Лекция 14 || Дополнительный материал 1: 12345678910

Из раздела 9

9.1. Пусть \rho=\sum_{k}^{}p_k\ket{\xi_k}\bra{\xi_k}. Проверим условия 1)—3) для \rho.

Условие 1): очевидно.

Условие 2): \langle\eta|\,\rho\,|\eta\rangle =\sum_{k}^{}p_k\langle \eta|\xi_k\rangle \langle \xi_k|\eta\rangle =\sum_{k}^{}p_k\left|\langle \eta|\xi_k\rangle \right|^2\geq0.

Условие 3): \Tr\rho=\sum_{k}p_k\langle\xi_k|\xi_k\rangle=\sum_{k}p_k=1.

И наоборот, если \rho удовлетворяет 1)—3), то \rho=\sum_{k}^{}\lambda_k\ket{\xi_k}\bra{\xi_k}, где \lambda_kсобственные числа, а \{\ket{\xi_k}\} — ортонормированный базис из собственных векторов.

9.2 Вектору \ket\psi\in\calN\otimes\calF можно естественным образом сопоставить оператор \Psi\colon\calF^*\to\calN. Пусть p_j — ненулевые собственные числа оператора

\rho=\Psi\Psi^\dagger=\Tr_\calF(\ket\psi\bra\psi)\in\LL(\calN)
(каждое собственное число учитывается столько раз, какова его кратность). Поскольку \rho является матрицей плотности, 0<p_j\le 1. Положим \lambda_j=\sqrt{p_j}, а в качестве множества \{\ket{\xi_j}\} возьмем любую ортонормированную систему собственных векторов, соответствующих собственным числам p_j.

Оператор \Psi можно представить в виде

\Psi=\sum_{j}\lambda_j\ket{\xi_j}\bra{\nu_j},
где \ket{\nu_j}=\lambda_j^{-1}\Psi^\dagger\ket{\xi_j}\in\calF^*. Соответственно, \bra{\nu_j}\in\calF^{**}=\calF. Переобозначив \bra{\nu_j} через \ket{\eta_j}, получаем искомое разложение Шмидта.

9.3 Условие \Tr_{\calF}(\ket{\psi_1}\bra{\psi_1})= \Tr_{\calF}(\ket{\psi_2}\bra{\psi_2}), как следует из решения предыдущей задачи, позволяет выбрать разложения Шмидта для \ket{\psi_1} и \ket{\psi_2} с одинаковыми \lambda_j и \ket{\xi_j}. Запишем эти разложения

\ket{\psi_k}=\sum_{j}^{}\lambda_j\ket{\xi_j} \otimes\ket{\eta_j^{(k)}},\qquad k=1,\,2.
Поскольку \{\ket{\eta_j^{(k)}}\} — ортонормированные семейства, существует унитарный оператор U, такой что U\ket{\eta_{j}^{(1)}}=\ket{\eta_j^{(2)}} для всех j. Тогда
(I_\calN\otimes U)\ket{\psi_1}= \sum_{j}^{}\lambda_j \ket{\xi_j}\otimes U\ket{\eta_j^{(1)}}= \sum_{j}^{}\lambda_j \ket{\xi_j}\otimes \ket{\eta_j^{(2)}}= \ket{\psi_2}.

< Лекция 14 || Дополнительный материал 1: 12345678910
Михаил Адигеев
Михаил Адигеев
Россия
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига