НОУ ИНТУИТ | Классические и квантовые вычисления. Лекция 1: Решения задач

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 616 / 27 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Из раздела 8

8.1 Пусть $\sum_{z}^{} \Bigl|\langle F(x),z|\,U\,|x,0^{N-n}\rangle\Bigr|^2 = 1-\eps_x$ , и $\eps_x\leq\eps<1/2$ для всех . Нам нужно оценить величину

$p(x)=\mkern-15mu\sum_{\scriptstyle\begin{gathered} \scriptstyle f_1,\dots,f_k\\[-8pt] \scriptstyle z_1,\dots,z_k\end{gathered}}^{} \Bigl| \langle f_1,z_1,\dots,f_k,z_k, F(x), 0^{s} |\,MU^{\otimes k}\,| (x,0^{N-n})^{k}, 0^{m+s}\rangle \Bigr|^2,$

где

— оператор, реализующий применение функции MAJ к соответственным битам

регистров ответа исходной схемы и записывающий значение этой функции в регистр окончательного ответа. (Длина ответа равна

, а

дополнительных битов используются при вычислении MAJ).

Если более половины регистров ответа исходной схемы содержат F(x) , то результатом применения обязательно будет F(x) . Поэтому, аналогично (3.1), имеем

$\begin{multiline*} 1-p(x)\leq\\ \leq\mkern-5mu \sum_{\scriptstyle \begin{gathered} \scriptscriptstyle S\subseteq\{1,\dots,k\},\\[-7pt] \scriptscriptstyle|S|\leq k/2\end{gathered}} \sum_{\scriptstyle \begin{gathered} \scriptscriptstyle f_1,\dots,f_k,\\[-7pt] \scriptscriptstyle f_j=F(x)\,\Leftrightarrow\,j\in S\end{gathered}} \sum_{z_1,\dots,z_k} \Bigl| \langle f_1,z_1,\dots,f_k,z_k |U^{\otimes k}| (x,0^{N-n})^{k}\rangle \Bigr|^2=\\ =\mkern-5mu \sum_{\scriptstyle\begin{gathered} \scriptscriptstyle S\subseteq\{1,\dots,k\},\\[-6pt] \scriptscriptstyle|S|\leq k/2\end{gathered}} (1-\eps_x)^{|S|}\eps_x^{k-|S|}= \bigl((1-\eps_x)\eps_x\bigr)^{k/2} \sum_{\scriptstyle\begin{gathered} \scriptscriptstyle S\subseteq\{1,\dots,k\},\\[-6pt] \scriptscriptstyle|S|\leq k/2\end{gathered}} \left(\frac{\eps_x}{1-\eps_x}\right)^{k/2-|S|}\leq\\ \leq\left(\sqrt{(1-\eps_x)\eps_x}\right)^k 2^k\,\leq\,\lambda^k, \quad \text{где }\lambda=2\sqrt{(1-\eps)\eps.} \end{multiline*}$

8.2 Поскольку H^2=I , имеем цепочку равенств:

Оператор $\Lambda(\sz)$ умножает $\ket{1,1}$ на , а остальные базисные векторы не меняет.

Если сделать замену базиса только в управляющем q-бите, как показано на рисунке ниже, то получится оператор, который является произведением отрицаний в обоих q-битах и "оператора диффузии" (в "Определение квантового вычисления. Примеры" мы обозначали его ). Действительно,

$\begin{equation*} H[1]\Lambda(\sx)[1,2]H[1]\ket{a,b}&= H[1]\Lambda(\sx)[1,2] \frac{1}{\sqrt2}\sum_{c}^{}(-1)^{ac}\ket{c,b}=\\ =H[1]\frac{1}{\sqrt2}\sum_{c}^{}(-1)^{ac}\ket{c,b\oplus c}&= \frac{1}{2}\sum_{c,d}^{}(-1)^{(a+d)c}\ket{d,b\oplus c}=\\ &=\frac{1}{2}\sum_{c,b'}^{}(-1)^{(a+d)(b+b')}\ket{d,b'}. \end{equation*}$

На рисунке слева показана схема вычисления такого оператора, а справа — его матрица в стандартном базисе:

8.3 $\BPP\subseteq\BQP$ . Классическое вероятностное вычисление можно представить обратимой схемой $(U_1,\dots,U_L)$ , которая, наряду со входом , использует случайную последовательность нулей и единиц $r\in\cb^s$ . (Кроме полезного ответа, схема может создавать мусор — это неважно). Заменим перестановки U_j на соответствующие унитарные операторы $\hat U_j$ , а вместо случайного слова приготовим состояние

$\ket\psi = H^{\otimes s}\ket{0^s} = 2^{-s/2}\sum_{r\in\cb^s}\ket{r}.$

$\BQP\subseteq \PPP$ . Пусть схема $(U_1,\dots, U_L)$ вычисляет предикат F(x) с вероятностью ошибки $\le 1/3$ , общее число битов в схеме равно , а |x|=n . Вероятность получения ответа 1 выражается через проектор $\Pi^{(1)}=\ket{1}\bra{1}$ , примененный к первому q-биту:

$\begin{equation*} p(x) =\,& \langle x,0^{N-n} | U_1^\dagger U_2^\dagger\cdot\ldots\cdot U_L^\dagger \,\Pi^{(1)}[1]\, U_LU_{L-1}\cdot\ldots\cdot U_1 | x,0^{N-n} \rangle =\\ =\,& 2^{-h} \langle x,0^{N-n} | V_{L}V_{L-1}\cdot\ldots\cdot V_{-L+1}V_{-L} | x,0^{N-n} \rangle. \end{equation*}$

( *)

Здесь $V_{L},\dots,V_{-L}$ — перенумерованные операторы $U_1^\dagger,\dots,\Pi^{(1)}[1],\dots$ $\dots,U_1$ с одним исключением: если U_k=H[m]

(или $U_k^\dagger=H[m]$ ), то соответствующий оператор V_j

равен $\sqrt{2}H[m]$ ; количество элементов

в схеме обозначено через

.

Матричные элементы операторов $V_j\in\{\sqrt{2}H,K,K^\dagger,\QXOR,\Lambda^2(\sx)$ , $\Pi^{(1)}\}$ принадлежат множеству

$M=\{0,\, +1,\, -1,\, +i,\, -i\}.$

Перемножая матрицы, мы получаем сумму чисел из множества

. Поскольку интересующая нас величина p(x)

вещественная, мы можем ограничиться суммированием $\pm 1$ . Кратности слагаемых будут выражаться в виде

$\#_a(x)=|\{w:C_a(x,w)=1\}|, \quad a\in\{\pm1\},$

где предикаты $C_a(x,w)\in\P$ определены ниже. Получаем представление

$p(x)=2^{-h}(\#_1(x)-\#_{-1}(x)).$

Дальнейшее приведение условия (*)

к виду из определения класса PPP уже не будет использовать никакой квантовой специфики.

Теперь опишем предикаты C_a(x,w) формально. Матричные элементы произведения $V_L\cdot\ldots\cdot V_{-L}$ можно выразить по формуле (5.1)

$\left(V_L\cdot\ldots\cdot V_{-L}\right)_{xy}= \sum_{x_{L-1},\dots, x_{-L+1}}^{} (U_L)_{xx_{L-1}}\cdot\ldots\cdot (U_{-L})_{x_{-L+1}y}.$

По определению, $C_a(u_{-L},\dots,u_{L})$ равно 1, если и только если

$u_{-L}=u_{L}=(x,0^{N-n}),\quad \prod_{j=-L+1}^{L}(V_{j})_{u_{j}u_{j-1}} =a.$

Легко видеть, что $C_a\in\P$ : нужно представлять матричные элементы как степени

и суммировать показатели степеней по модулю 4.

Если F(x)=0 , то $p(x)\le 1/3$ ; если F(x)=1 , то $p(x)\ge 2/3$ . Итак, F(x)=1 тогда и только тогда, когда

$p(x)=2^{-h}(\#_1(x)-\#_{-1}(x))>\frac{1}{2}.$

Это эквивалентно условию

$\#_{-1}(x)+2^{h-1}<\#_{1}(x).$

Записанное неравенство почти соответствует определению класса $\PPP$ : остается лишь проверить, что левая часть представима в виде $f(x)=|\{y:R(x,y)=1\}|$ , $R(\cdot,\cdot)\in\P$ (для правой части это уже доказано). Функции такого вида образуют так называемый класс $\#\P$ . Покажем, что этот класс замкнут относительно сложения. Пусть $g(x)\double=|\{y:Q(x,y)=1\}|$ , $Q(\cdot,\cdot)\in\P$ , тогда

$\begin{align*} f(x)+g(x)&= |\{y:T(x,zy)=1\}|,\\ &\mbox{где } T(x,0y)=R(x,y),\T(x,1y)=Q(x,y). \end{align*}$

Доказательство закончено.

$\PPP \subseteq \PSPACE$ . Это очевидно. Заведем два счетчика: один для R_0 , другой — для R_1 . Перебираем все возможные значения и увеличиваем значения счетчиков для R_k , если R_k(x,y)=1 . Потом сравниваем значения счетчиков.

8.4 Пункт а) следует из пункта б). Для б) приведем схему, которая дает приближенное решение. Прежде всего, запишем рекуррентную формулу

$\rlap{\displaystyle \ket{\psi_n(q)}=\cos\vartheta\ket0\otimes\ket{\psi_{n-1}(q')}+ \sin\vartheta\ket1\otimes\ket{\psi_{n-1}(q'')},$

где

$&q'=2^{n-1}, & &q''=q-2^{n-1}, & &\vartheta=\arccos\sqrt{q'/q}, & &\text{если } q>2^{n-1}; \notag\\[-3pt] &q'=q, & &q''=1, & &\vartheta=0, & &\text{если } q\leq2^{n-1}. \notag$

Организуем рекурсивное вычисление, используя формулу (*) .

Вычисляем , , $\vartheta/\pi$ , последнее представляем приближенно двоичными цифрами. Запоминаем результаты вычисления в дополнительных q-битах.
Применяем к первому q-биту регистра $\ket{0^n}$ , в котором нужно создать $\ket{\psi_n(q)}$ , оператор
$R(\vartheta)=\leftp\begin{array}{rr} \cos\vartheta&-\sin\vartheta\\ \sin\vartheta & \cos\vartheta \end{array} \rightp.$
В остальных битах создаем состояние, зависящее от значения первого бита: если он равен 0, то создаем состояние $\ket{\psi_{n-1}(q')}$ , в противном случае создаем $\ket{\psi_{n-1}(q'')}$ .
Проводим вычисление, обратное к шагу 1, чтобы очистить дополнительную память.

Оператор $R(\vartheta)$ реализуется приближенно. Пусть $\vartheta/\pi=\sum_{k=1}^{l} a_k 2^{-k}$ . Тогда $R(\vartheta)\approx R(\pi/2^{l})^{a_{l}} \cdot\ldots\cdot R(\pi/2)^{a_{1}}$ с точностью $O(2^{-l})$ . Итак, приближенно оператор $R(\vartheta)$ представляется произведением операторов $\Lambda(R(\pi/2^{k}))$ , где -й разряд числа $\vartheta/\pi$ управляет применением оператора $R(\pi/2^{k})$ .

Общая точность такой схемы равна $\delta=O(n2^{-l})$ ; размер, выраженный через длину входа и точность, — $\poly(n+\log(1/\delta))$ .

Пункт в). Приведем реализацию преобразования Фурье, найденную Копперсмитом и, независимо, Дойчем, в изложении П. Шора [39].

Занумеруем q-биты в убывающем порядке от n-1 до . Обозначим

$H_j=H[j],\qquad S_{j,l}=\Lambda^2\bigl(e^{i\pi/2^{l-j}}\bigr)[j,l]\quad (j<l).$

Тогда оператор

$\begin{multiline*} V_k= H_0S_{0,1}S_{0,2}\cdot\ldots\cdot S_{0,n-2}S_{0,n-1} H_1S_{1,2}\cdot\ldots\cdot S_{1,n-1}\cdot\ldots\\ \ldots\cdot H_{n-3}S_{n-3,n-2}S_{n-3,n-1}H_{n-2}S_{n-2,n-1}H_{n-1} \end{multiline*}$

дает почти то, что нужно: U_k=RV_k

, где

— (классический) оператор, переписывающий двоичное слово в обратном порядке. Размер такой схемы O(n^2)

.

Легко видеть, что модули матричных элементов V_k определяются количеством операторов H_j , так что они равны $1/\sqrt{k}$ , как и требуется. Осталось проверить фазовые множители. Пусть

$\left(V_k\right)_{(x_{n-1}\dots x_0, y_{n-1}\dots y_0)}= \frac{1}{\sqrt{k}} \exp(i\cdot 2\pi\phi(x_{n-1},\dots, x_0, y_{n-1},\dots, y_0)).$

Заметим, что каждый матричный элемент V_k

есть произведение матричных элементов сомножителей. Применение H_j

меняет фазу на $\pi$ тогда и только тогда, когда x_j=y_j=1

; применение $S_{j,l}$ добавляет к фазе $\pi/2^{l-j}$ только в том случае, когда x_j=y_l=1

. Изменение фазы на $2\pi$ ни на что не влияет, поэтому вычислим $\phi$ по модулю 1.

$\begin{align*} &\phi(x_{n-1},\dots,x_0, y_{n-1},\dots,y_0) =\mkern-2mu\sum_{j=0}^{n-1}\frac{x_j y_j}{2}+\mkern-7mu \sum_{0\leq j<l<n}^{}\frac{x_j y_l}{2^{l-j+1}}=\\[-3pt] &=\mkern-7mu \sum_{0\leq j\leq l<n}^{}\frac{x_j y_l}{2^{l-j+1}}=\mkern-7mu \sum_{0\leq j+m<n}^{}\frac{x_j y_{n-1-m}}{2^{n-j-m}}=\\ \intertext{(здесь равенство по модулю 1)} &=\sum_{j,m=0}^{n-1} \frac{x_j y_{n-1-m}}{2^{n-j-m}} =2^{-n}\sum_{j=0}^{n-1}2^jx_j \sum_{m=0}^{n-1}2^my_{n-1-m}. \end{align*}$

После того, как мы перепишем слово

в обратном порядке, последнее выражение превращается в xy/2^n

.

Дальше >>

Авторизоваться

Классические и квантовые вычисления

Решения задач

Из раздела 8

Вопросы и ответы