Решения задач
Из раздела 8
8.1 Пусть , и для всех . Нам нужно оценить величину
где — оператор, реализующий применение функции MAJ к соответственным битам регистров ответа исходной схемы и записывающий значение этой функции в регистр окончательного ответа. (Длина ответа равна , а дополнительных битов используются при вычислении MAJ).Если более половины регистров ответа исходной схемы содержат , то результатом применения обязательно будет . Поэтому, аналогично (3.1), имеем
8.2 Поскольку , имеем цепочку равенств:
Оператор умножает на , а остальные базисные векторы не меняет.
Если сделать замену базиса только в управляющем q-бите, как показано на рисунке ниже, то получится оператор, который является произведением отрицаний в обоих q-битах и "оператора диффузии" (в "Определение квантового вычисления. Примеры" мы обозначали его ). Действительно,
На рисунке слева показана схема вычисления такого оператора, а справа — его матрица в стандартном базисе:
8.3 . Классическое вероятностное вычисление можно представить обратимой схемой , которая, наряду со входом , использует случайную последовательность нулей и единиц . (Кроме полезного ответа, схема может создавать мусор — это неважно). Заменим перестановки на соответствующие унитарные операторы , а вместо случайного слова приготовим состояние
. Пусть схема вычисляет предикат с вероятностью ошибки , общее число битов в схеме равно , а . Вероятность получения ответа 1 выражается через проектор , примененный к первому q-биту:
( *) |
Матричные элементы операторов , принадлежат множеству
Перемножая матрицы, мы получаем сумму чисел из множества . Поскольку интересующая нас величина вещественная, мы можем ограничиться суммированием . Кратности слагаемых будут выражаться в виде где предикаты определены ниже. Получаем представление Дальнейшее приведение условия к виду из определения класса PPP уже не будет использовать никакой квантовой специфики.Теперь опишем предикаты формально. Матричные элементы произведения можно выразить по формуле (5.1)
По определению, равно 1, если и только если Легко видеть, что : нужно представлять матричные элементы как степени и суммировать показатели степеней по модулю 4.Если , то ; если , то . Итак, тогда и только тогда, когда
Это эквивалентно условиюЗаписанное неравенство почти соответствует определению класса : остается лишь проверить, что левая часть представима в виде , (для правой части это уже доказано). Функции такого вида образуют так называемый класс . Покажем, что этот класс замкнут относительно сложения. Пусть , , тогда
Доказательство закончено.. Это очевидно. Заведем два счетчика: один для , другой — для . Перебираем все возможные значения и увеличиваем значения счетчиков для , если . Потом сравниваем значения счетчиков.
8.4 Пункт а) следует из пункта б). Для б) приведем схему, которая дает приближенное решение. Прежде всего, запишем рекуррентную формулу
гдеОрганизуем рекурсивное вычисление, используя формулу .
- Вычисляем , , , последнее представляем приближенно двоичными цифрами. Запоминаем результаты вычисления в дополнительных q-битах.
- Применяем к первому q-биту регистра , в котором нужно создать , оператор
- В остальных битах создаем состояние, зависящее от значения первого бита: если он равен 0, то создаем состояние , в противном случае создаем .
- Проводим вычисление, обратное к шагу 1, чтобы очистить дополнительную память.
Оператор реализуется приближенно. Пусть . Тогда с точностью . Итак, приближенно оператор представляется произведением операторов , где -й разряд числа управляет применением оператора .
Общая точность такой схемы равна ; размер, выраженный через длину входа и точность, — .
Пункт в). Приведем реализацию преобразования Фурье, найденную Копперсмитом и, независимо, Дойчем, в изложении П. Шора [39].
Занумеруем q-биты в убывающем порядке от до . Обозначим
Тогда оператор дает почти то, что нужно: , где — (классический) оператор, переписывающий двоичное слово в обратном порядке. Размер такой схемы .Легко видеть, что модули матричных элементов определяются количеством операторов , так что они равны , как и требуется. Осталось проверить фазовые множители. Пусть
Заметим, что каждый матричный элемент есть произведение матричных элементов сомножителей. Применение меняет фазу на тогда и только тогда, когда ; применение добавляет к фазе только в том случае, когда . Изменение фазы на ни на что не влияет, поэтому вычислим по модулю 1. После того, как мы перепишем слово в обратном порядке, последнее выражение превращается в .