Решения задач
Из раздела 11
11.1 По определению квантовой вероятности имеем

11.2 Если , то
. Поэтому искомая квантовая схема имеет вид
, где оператор
копирует в дополнительный регистр "полезный результат":

Из раздела 12
12.1 Интересующую нас вероятность обозначим через . Если
не порождают всю группу
, то они содержатся в некоторой максимальной собственной подгруппе
. Для каждого
вероятность такого события не превосходит
, поскольку
. Таким образом, мы имеем оценку



Подгруппы абелевой группы находятся во взаимнооднозначном соответствии с подгруппами группы характеров
, при этом максимальным собственным подгруппам отвечают минимальные ненулевые подгруппы. Каждая такая подгруппа порождается одним элементом, поэтому
.
12.2 Построим классический оператор (базисные векторы в
занумерованы от
до
), такой что

![V^{-1}[0,B]\,U[B,A]\,V[0,B]](/sites/default/files/tex_cache/165d90b3e2c63873ee203e6ba1668999.png)
![\Lambda(U_b)[0,A]](/sites/default/files/tex_cache/04b11c68cb56d9eb34ea672652f01d6f.png)
12.3 Обозначим образ вектора при преобразовании Фурье через
. В задаче 8.4 мы научились строить вектор
. Как уже отмечалось в решении задачи 7.11,
— собственный вектор классического оператора
, собственное число которого равно
.
Используя эти соображения и результат задачи 11.2, построим следующую схему для квантового преобразования Фурье.
- В дополнительном, изначально нулевом, регистре построим вектор
. Общее состояние получается
- Сделаем фазовый сдвиг на
. Теперь получаем состояние
.
- Измеряя обратимым образом (см. задачу 11.2) собственное число оператора
, действующего на второй регистр, прибавляем результат измерения
к первому регистру. (Здесь имеется в виду побитовое сложение по модулю 2). В первом регистре получается
, а во втором — требуемый результат
.
Из раздела 14
14.1 Оператор можно представить в виде






Для любого оператора




Из доказанного представления для легко следует неравенство треугольника, а положительность и однородность
очевидны.
14.2 Свойство а):


Свойство в):

Свойство г): для любого

Свойство д):

14.3 Пусть — пространство состояний q-битов из
, а
— пространство состояний остальных q-битов. Обозначим





Преобразование может быть разложено в операторную сумму (
), см. решение задачи 10.1. Операторы
из этого разложения принадлежат пространству
, поэтому
. Осталось воспользоваться теоремой 14.2.
14.4 Пространство , соответствующее искомому коду, порождается строками таблицы







14.5 (См. [22, 23].) Допустим, что — код типа
, исправляющий одну ошибку. Тогда он должен обнаруживать по крайней мере две ошибки, в частности, ошибки в q-битах
, а также в q- битах
. Это означает, что произвольное состояние
можно восстановить как по первым, так и по последним двум
-битам (см. задачу 14.3). Покажем, что это невозможно.
Пусть — пространство состояний q-битов
, а
— пространство состояний q-битов
, тогда
— это подпространство в
. Вложение
обозначим через
(это изометрический оператор). Пусть также
и
— преобразования ошибок, а
и
— соответствующие исправляющие преобразования. Тогда преобразование
обладает следующим свойством: для любого







14.6 Опишем кратко идею решения этой задачи.
Достаточно рассмотреть одно из двух прямых слагаемых торического кода. Компонента синдрома равна 1 для такого узла решетки, в звезду которого входит нечетное число ребер с ненулевыми весами в 1-цепи, соответствующей вектору ошибки .
Поэтому получаем такую задачу. Задано некоторое множество узлов решетки. Из всех 1-цепей
, граница которых совпадает с
, нужно выбрать ту, в которой наименьшее число ребер ненулевого веса. Нетрудно сообразить, что такая 1-цепь распадается в объединение путей, соединяющих узлы из множества
(любые два различных пути не имеют общих ребер), причем эти пути можно считать кратчайшими. Так что задача определения ошибки по синдрому сводится к задаче о взвешенном паросочетании: дан граф
(в нашем случае полный), каждому его ребру приписан вес (в нашем случае — расстояние между узлами по решетке), нужно найти паросочетание, на котором достигается минимум суммы весов по ребрам, входящим в паросочетание.
Для задачи о взвешенном паросочетании известны полиномиальные алгоритмы (см., например, [11, гл.11], где описан алгоритм, основанный на идеях линейного программирования).