Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 580 / 9 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00
Специальности: Программист
Дополнительный материал 1:

Решения задач

< Лекция 14 || Дополнительный материал 1: 12345678910

Из раздела 11

11.1 По определению квантовой вероятности имеем

\begin{align*} &\PP\Bigl(W\bigl(\ket0\bra0\otimes\rho\bigr)W^\dagger,\, \CC(\ket{k})\otimes\calN\Bigr) =\\ =& \Tr\Bigl(\Pi_{\CC(\ket{k})\otimes\calN}W\bigl(\ket0\bra0\otimes\rho\bigr) W^\dagger\Bigr)=\\ =& \sum_{j} \Tr\Bigl( \bigl(\ket{k}\bra{k}\bigr)R_j\bigl(\ket{0}\bra{0}\bigr)R_j^\dagger \otimes \Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j} \Bigr) =\\ =& \sum_{j} \Tr\Bigl(\bigl(\ket{k}\bra{k}\bigr) R_j\bigl(\ket0\bra0\bigr)R_j^\dagger\Bigr) \Tr\bigl(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}\bigr)=\\ =& \sum_{j}|\bra{k}R_j\ket0|^2 \PP(\rho,\calL_j) \,=\, \sum_{j}\PP(k|j)\PP(\rho,\calL_j). \end{align*}

11.2 Если W=\sum_{k=1}^{t}\Pi_{\calL_k}\otimes V_k, то W^{-1}=\sum_{k=1}^{t}\Pi^{\ms}_{\calL_k}\otimes V_k^{-1}. Поэтому искомая квантовая схема имеет вид W^{-1}YW, где оператор Y копирует в дополнительный регистр "полезный результат":

Y\colon\ket{y,z,v}\mapsto\ket{y,z,v\oplus y}.
Оценка точности делается так же, как в задаче 7.11.

Из раздела 12

12.1 Интересующую нас вероятность обозначим через p(X,l). Если h_1,\dots,h_l не порождают всю группу X, то они содержатся в некоторой максимальной собственной подгруппе Y\subset X. Для каждого Y вероятность такого события не превосходит 2^{-l}, поскольку |Y|\le|X|/2. Таким образом, мы имеем оценку

p(X,l)\ge 1-K(X)\cdot 2^{-l},
где K(X) — число максимальных собственных подгрупп в группе X.

Подгруппы абелевой группы X находятся во взаимнооднозначном соответствии с подгруппами группы характеров X^*, при этом максимальным собственным подгруппам отвечают минимальные ненулевые подгруппы. Каждая такая подгруппа порождается одним элементом, поэтому K(X)\le|X^*|=|X|.

12.2 Построим классический оператор V_b\in\LL(\BB\otimes\BB^{\otimes n}) (базисные векторы в \BB^{\otimes n} занумерованы от 0 до 2^n-1 ), такой что

V_b\ket{0,0}=\ket{0,1},\qquad V_b\ket{1,0}=\ket{1,b}.
Тогда схема V^{-1}[0,B]\,U[B,A]\,V[0,B] реализует оператор \Lambda(U_b)[0,A] в расширенном смысле.

12.3 Обозначим образ вектора \ket{x} при преобразовании Фурье через \ket{\psi_n(k,x)}. В задаче 8.4 мы научились строить вектор \ket{\psi_n(k,0)}. Как уже отмечалось в решении задачи 7.11, \ket{\psi_n(k,x)}собственный вектор классического оператора V\colon\ket{j}\mapsto\ket{(j-1)\bmod k}, собственное число которого равно \exp(2\pi i x/k).

Используя эти соображения и результат задачи 11.2, построим следующую схему для квантового преобразования Фурье.

  1. В дополнительном, изначально нулевом, регистре построим вектор \ket{\psi_n(k,0)}. Общее состояние получается
    \frac{1}{\sqrt{k}}\sum_{y}^{}\ket{x,y}.
  2. Сделаем фазовый сдвиг на \exp(2\pi i xy/k). Теперь получаем состояние \ket{x}\otimes \ket{\psi_n(k,x)}.
  3. Измеряя обратимым образом (см. задачу 11.2) собственное число оператора V, действующего на второй регистр, прибавляем результат измерения x к первому регистру. (Здесь имеется в виду побитовое сложение по модулю 2). В первом регистре получается \ket{0}, а во втором — требуемый результат \ket{\psi_n(k,x)}.

Из раздела 14

14.1 Оператор A можно представить в виде

A = \sum_{j} \lambda_j\ket{\xi_j}\bra{\eta_j},\quad\ \lambda_j>0,\quad \langle\xi_j|\xi_k\rangle=\langle\eta_j|\eta_k\rangle= \delta_{jk}.
Здесь \lambda_j^2 — ненулевые собственные числа оператора AA^\dagger, \ket{\xi_j} — его собственные векторы, а \ket{\eta_j}=\lambda_j^{-1}A^\dagger\ket{\xi_j}. Тогда \|A\|_\trr=\sum_j\lambda_j.

Для любого оператора X

|\Tr AX| \le \sum_{j}\lambda_j\bigl|\Tr\ket{\xi_j}\bra{\eta_j}X\bigr| \le \sum_j \lambda_j\|X\| = \|A\|_\trr\|X\|.
С другой стороны, если взять X=\sum_j\ket{\eta_j}\bra{\xi_j}, то \|X\|\le 1, а \Tr AX\double=\|A\|_\trr.

Из доказанного представления для \|\cdot\|_\trr легко следует неравенство треугольника, а положительность и однородность \|\cdot\|_\trr очевидны.

14.2 Свойство а):

\|AB\|_\trr= \sup\limits_{X\ne0}\frac{|\Tr ABX|}{\|X\|}\leq \sup\limits_{X\ne0}\frac{\|A\|_\trr\|BX\|}{\|X\|}\leq \|A\|_\trr\|B\|.
Аналогично доказывается и свойство б) (воспользуйтесь равенством \Tr ABC=\Tr CAB ).

Свойство в):

|\Tr(A)|=\frac{|\Tr(AI)|}{\|I\|}\leq\|A\|_\trr.

Свойство г): для любого А\in\LL(\calN\otimes\calM)

\|\Tr_{\calM}A\|_\trr= \sup\limits_{X\ne0}\frac{\left|\Tr\bigl((\Tr_{\calM}A)X\bigr)\right|}{\|X\|}= \sup\limits_{X\ne0} \frac{\left|\Tr\bigl(A(X\otimes I_{\calM})\bigr)\right|} {\|X\otimes I_\calM\|}\le \|A\|_\trr.

Свойство д):

\|A\otimes B\|_\trr= \Tr\sqrt{(A\otimes B)^\dagger(A\otimes B)}= \Tr\left(\sqrt{A^\dagger A}\otimes\sqrt{B^\dagger B}\right)= \|A\|_\trr\|B\|_\trr.

14.3 Пусть \calFпространство состояний q-битов из A, а \calNпространство состояний остальных q-битов. Обозначим

\calD = I_{\calN}\otimes\calF^*\colon\ \calN\otimes\calF\to\calN.
Если X,Y\in\calD, то Y^\dagger X\in I_{\calN}\otimes\LL(\calF)=\calE(A). Следовательно, код \calM исправляет ошибки из \calD.

Преобразование T\colon\rho\mapsto\Tr_\calF\rho может быть разложено в операторную сумму ( ** ), см. решение задачи 10.1. Операторы W_m из этого разложения принадлежат пространству \calD, поэтому T\in\calD\cdot\calD^\dagger. Осталось воспользоваться теоремой 14.2.

14.4 Пространство F, соответствующее искомому коду, порождается строками таблицы

\begin{array}{cc@{\qquad}cc@{\qquad} cc@{\qquad} cc@{\qquad} cc} 1&0 & 1&0  & 0&1 & 0&1 & 0&0 \\ 1&0 & 0&1  & 1&0 & 0&0 & 0&1 \\ 0&1 & 0&0  & 0&1 & 1&0 & 0&1 \\ 0&1 & 0&1  & 0&0 & 0&1 & 1&0 \end{array}
Можно проверить, что \omega(f_j,f_k)=0 для любых двух строк f_j,f_k. Заметим, что столбцы в таблице разбиты на пары. Если взять любые две пары, то соответствующие 4 столбца линейно независимы. Следовательно, из строк всегда можно составить линейную комбинацию, которая в двух заданных парах позиций содержит заданные числа. Поэтому условия \omega(f_j,g)=0 ( j=1,2,3,4 ) при |g|\leq2 могут выполняться только для g=0.

14.5 (См. [22, 23].) Допустим, что \calM — код типа (4,1), исправляющий одну ошибку. Тогда он должен обнаруживать по крайней мере две ошибки, в частности, ошибки в q-битах [1,2], а также в q- битах [3,4]. Это означает, что произвольное состояние \rho\in\LL(\calM) можно восстановить как по первым, так и по последним двум q -битам (см. задачу 14.3). Покажем, что это невозможно.

Пусть \calN_1пространство состояний q-битов [1,2], а \calN_2пространство состояний q-битов [3,4], тогда \calM — это подпространство в \calN_1\otimes\calN_2. Вложение \calM\to\calN_1\otimes\calN_2 обозначим через V (это изометрический оператор). Пусть также T_1\colon\rho\mapsto\Tr_{\calN_2}\rho и T_2\colon\rho\mapsto\Tr_{\calN_1}\rho — преобразования ошибок, а P_1\colon\calN_1\to\calM и P_2\colon\calN_2\to\calM — соответствующие исправляющие преобразования. Тогда преобразование P=(P_1\otimes P_2)(V\cdot V^\dagger)\colon\calM\to\calM\otimes\calM обладает следующим свойством: для любого \rho\in\calM

\begin{align*} \Tr_{\calN_2} P\rho =&\, \Tr_{\calN_2} \bigl((P_1\otimes P_2)(V\rho V^\dagger)\bigr) = P_1 T_1(V\rho V^\dagger) =\,\rho,\\ \Tr_{\calN_1} P\rho =&\, \Tr_{\calN_1} \bigl((P_1\otimes P_2)(V\rho V^\dagger)\bigr) = P_2 T_2(V\rho V^\dagger) =\,\rho .\end{align*}
Согласно задаче 10.5 первое тождество означает, что P\rho=\rho\otimes\gamma_2, где \gamma_2 не зависит от \rho. Из второго тождества следует, что P\rho=\gamma_1\otimes\rho. Получили противоречие: \gamma_1\otimes\rho=\rho\otimes\gamma_2, где \rho —любое.

14.6 Опишем кратко идею решения этой задачи.

Достаточно рассмотреть одно из двух прямых слагаемых торического кода. Компонента синдрома равна 1 для такого узла решетки, в звезду которого входит нечетное число ребер с ненулевыми весами в 1-цепи, соответствующей вектору ошибки g^{(z)}.

Поэтому получаем такую задачу. Задано некоторое множество D узлов решетки. Из всех 1-цепей C, граница которых совпадает с D, нужно выбрать ту, в которой наименьшее число ребер ненулевого веса. Нетрудно сообразить, что такая 1-цепь распадается в объединение путей, соединяющих узлы из множества D (любые два различных пути не имеют общих ребер), причем эти пути можно считать кратчайшими. Так что задача определения ошибки по синдрому сводится к задаче о взвешенном паросочетании: дан граф G (в нашем случае полный), каждому его ребру приписан вес (в нашем случае — расстояние между узлами по решетке), нужно найти паросочетание, на котором достигается минимум суммы весов по ребрам, входящим в паросочетание.

Для задачи о взвешенном паросочетании известны полиномиальные алгоритмы (см., например, [11, гл.11], где описан алгоритм, основанный на идеях линейного программирования).

< Лекция 14 || Дополнительный материал 1: 12345678910
Семен Дядькин
Семен Дядькин
Беларусь, Минск, БГУ, 2003