Опубликован: 17.02.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 346 / 26 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 25:24:00
ISBN: 978-5-9963-0268-0
Специальности: Математик
Лекция 20:

Диагностическая задача в интервальной постановке

< Лекция 19 || Лекция 20: 123 || Лекция 21 >
Аннотация: Исследуется диагностическая задача для линейных автоматов, когда наблюдаемая на выходах реакция автоматов представлена в виде интервалов в поле GF(p). Предложены методы решения диагностической задачи с использованием модифицированной конструкции дерева преемников и путем сведения ее к решению систем линейных алгебраических уравнений с интервальной правой частью. Описан генетический алгоритм для решения упомянутой системы, значительно сокращающий время поиска решений.

Постановка задачи и алгебраический метод решения

В классической диагностической задаче для линейных автоматов предполагается, что каждая выходная реакция в момент времени t - это вектор \bar y(t)=[y_1(t), \dots, y_m(t)]', координаты y_i(t) которого представляют собой точные значения. Поскольку практически значения координат наблюдаемой реакции автомата получаются в результате измерений, они неизбежно содержат погрешности, размеры которых зависят от точности измерительных приборов. Поэтому более реальной по сравнению с классической задачей является диагностическая задача , в которой реакция автомата представлена в виде интервалов в поле GF(p) :

\bar y(t)=[[ \underline y_1(t), \bar y_1(t)], \dots, [\underline y_m(t), \bar y_m(t)]]' ( 20.1)

Решением интервальной диагностической задачи, заключающейся в определении начального состояния автомата по наблюдаемой его реакции на подаваемую диагностическую последовательность, будем считать такое состояние автомата из множества допустимых начальных состояний, если, стартуя из него, автомат в каждый момент времени t порождает выходной вектор, координаты которого принадлежат интервальному вектору (20.1). Заметим, что, как и в случае классической задачи, мы будем считать интервальную диагностическую задачу разрешимой, если искомое начальное состояние определяется однозначно.

Понятно, что чем больше ширина интервалов в выходных векторах, тем сложнее найти начальное состояние автомата. Если же интервалы в выходных векторах полностью покрывают поле GF(p) , то нахождение начальных состояний становится невозможным. Такая ситуация вполне может иметь место при малых значениях p, поэтому далее предполагается, что p \ge 5.

Для решения диагностической задачи необходимо иметь ДП, общий метод построения которой в классическом случае описан в [18]. Остановимся кратко на методе построения ДП, ориентированном на решение интервальной диагностической задачи. Построение ДП в этом случае может быть осуществлено с использованием конструкции классического диагностического дерева [18] с внесенными в нее некоторыми незначительными изменениями. Эти изменения касаются способа формирования преемника A -группы.

В классическом случае каждое состояние автомата любого сигма-множества A -группы имеет единственного преемника в одном и только одном сигма-множестве преемника упомянутой A -группы. Отсюда следует, что в классическом случае каждая A -группа, связанная с любой ветвью диагностического дерева, содержит в своих сигма-множествах одно и то же суммарное число состояний, равное мощности множества допустимых начальных состояний автомата.

Построение преемника сигма-множества A -группы по некоторому входному сигналу в интервальном диагностическом дереве будем осуществлять следующим образом. Сначала вычисляем все состояния-преемники этого сигма-множества по упомянутому входному сигналу и соответствующие "интервальные" реакции автомата. Каждая "интервальная" реакция ЛА заменяется множеством точных реакций, которое представляет собой все возможные комбинации из точных значений, принадлежащих соответствующему интервалу. Таким образом, каждому состоянию-преемнику будет соответствовать некоторое конечное множество точных реакций. Cостояния-преемники будут помещаться в одно и то же сигма-множество, если в соответствующих им множествах точных реакций есть совпадающие между собой. Это правило формирования сигма-множеств A -группы следующего уровня может привести к тому, что одно сигма-множество предшествующего уровня в следующем уровне дерева попадает в несколько сигма-множеств. Таким образом, в двух новых сигма-множествах может находиться одно и то же состояние-преемник. Отсюда вытекает, что общее число состояний в преемнике A -группы в интервальном диагностическом дереве может оказаться больше мощности множества допустимых начальных состояний автомата.

Что касается правил, по которым некоторая ветвь интервального диагностического дерева становится оконечной, то они остаются теми же, что и в классическом диагностическом дереве. Проиллюстрируем построение интервального диагностического дерева на примере.

Рассмотрим ЛА над полем GF(7) , заданный с помощью следующих характеристических матриц:

A=
\left [
\begin {matrix}
2&1&4\\
5&2&6\\
3&0&1
\end {matrix}
\right ],
B=
\left [
\begin {matrix}
3\\
4\\
1
\end {matrix}
\right ],
C=
\left [
\begin {matrix}
5&0&3\\
1&4&6
\end {matrix}
\right ], 
D=
\left [
\begin {matrix}
6\\
1
\end {matrix}
\right ]

Пусть множество допустимых начальных состояний этого ЛА содержит два следующих состояния: [456]' [105]'. Классическое диагностическое дерево для рассматриваемого автомата представлено на рис.20.1. Над каждой A -группой на этом рисунке в прямоугольнике помещена информация о состояниях-преемниках (\bar s) и выходных реакциях (\bar y). Ниже помещены сигма-множества (в фигурных скобках), составляющие A -группу. Из этого рисунка следует, что рассматриваемый автомат имеет 7 диагностических последовательностей длины 1: u=0, u=1, \dots, u=6.


Рис. 20.1.

Теперь построим фрагменты интервального диагностического дерева (одну его ветвь для входного сигнала u=0 ) в предположении, что при измерении реакции ЛА по каждой координате выходного вектора может произойти ее искажение на одну единицу как в меньшую, так и в большую сторону. Этот фрагмент представлен на рис.20.2.


Рис. 20.2.

При переходах ЛА из состояний [456]', [105]' в состояния [234]', [101]' соответственно вычисляемые точные реакции есть [34]', [63]' . При наличии оговоренных выше погрешностей измерения эти точные реакции превращаются в интервальные реакции [[2,4]', [3,5]]', [[5,0], [2,4]]'. Каждую из этих реакций заменяем соответственно множеством всех возможных комбинаций величин из приведенных интервалов:

\left \{
\left [
\begin {matrix}
2\\
3
\end {matrix}
\right ],
\left [
\begin {matrix}
2\\
4
\end {matrix}
\right ],
\left [
\begin {matrix}
2\\
5
\end {matrix}
\right ],
\left [
\begin {matrix}
3\\
3
\end {matrix}
\right ],
\left [
\begin {matrix}
3\\
4
\end {matrix}
\right ],
\left [
\begin {matrix}
3\\
5
\end {matrix}
\right ],
\left [
\begin {matrix}
4\\
3
\end {matrix}
\right ],
\left [
\begin {matrix}
4\\
4
\end {matrix}
\right ],
\left [
\begin {matrix}
4\\
5
\end {matrix}
\right ]
\right \} ,\\
\left \{
\left [
\begin {matrix}
5\\
2
\end {matrix}
\right ],
\left [
\begin {matrix}
5\\
3
\end {matrix}
\right ],
\left [
\begin {matrix}
5\\
4
\end {matrix}
\right ],
\left [
\begin {matrix}
6\\
2
\end {matrix}
\right ],
\left [
\begin {matrix}
6\\
3
\end {matrix}
\right ],
\left [
\begin {matrix}
6\\
4
\end {matrix}
\right ],
\left [
\begin {matrix}
0\\
2
\end {matrix}
\right ],
\left [
\begin {matrix}
0\\
3
\end {matrix}
\right ],
\left [
\begin {matrix}
0\\
4
\end {matrix}
\right ]
\right \}

С использованием этих множеств построим теперь сигма-множества A -группы. Так, поскольку реакция [23]' из первого множества не совпадает ни с одной реакцией из второго, то соответствующее ей состояние-преемник [234]' образует простое, т. е. одноэлементное, сигма-множество. Аналогичная ситуация имеет место для всех остальных элементов обоих множеств. Следовательно, преемником множества допустимых начальных состояний является A -группа, содержащая 18 одноэлементных сигма-множеств, среди которых по 9 штук содержит одно и то же состояние.

Вернемся теперь к интервальной диагностической задаче. Для нахождения неизвестного начального состояния \bar s(0)=[s_1(0), \dots, s_n(0)]' по известной ДП \bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(k) и наблюдаемой в процессе проведения эксперимента с ЛА выходной последовательности \bar y(0), \bar y(1), \dots, \bar y(k), сформируем следующую СЛАУ:

\begin {cases}
C\bars(0)=\bar y(0)-D\bar u(0),\\
CA\bar s(0)=\bar y(1)-CB \bar u(0)-D\bar u(1),\\
………………………………………………….\\
CA^k\bar s(0)=\bar y(k)-CA^{k-1}B\bar u(0)- \dots -CB\bar u(k-1)-D\bar u(k)
\end {cases} ( 20.2)

Эта система получена на основе формулы полной реакции ЛА для t=\overline {0,k}.

Поскольку выходные реакции \bar y(0), \bar y(1)m \dots, \bar y(k) представляют собой интервальные вектора, то правые части системы (20.2) также являются интервальными векторами, тогда как матрица системы (20.2) является точной.

В общем случае число уравнений в системе (20.2), которое обозначим через \nu, может не совпадать с числом неизвестных, равным размерности n ЛА. Если \nu < n, то, как известно из алгебры, общее решение такой системы представляется с использованием свободных переменных и матрица системы приводится к квадратной. Если \nu >n, то из факта существования у ЛА диагностической последовательности вытекает существование решения системы (20.2). Последнее означает, что ее ранг равен n и поэтому матрица системы и в этом случае может быть приведена к квадратной.

Исходя из сказанного, решение рассматриваемой интервальной диагностической задачи в математическом плане сводится к решению СЛАУ с точной квадратной матрицей и интервальной правой частью.

Представим такую систему в общем виде:

Ax=B ( 20.3)

где A=|a_{ij}|_{n \times n} - матрица, элементами которой являются элементы поля GF(p), B=[B_1, \dots, B_n]', а каждое B_i является интервалом или мультиинтервалом (объединением нескольких интервалов).

Тривиальный способ нахождения всех решений системы (20.3) состоит в замене ее интервальной правой части всевозможными конкретными значениями из соответствующих интервалов и поиска решений получающихся при этом обычных систем линейных уравнений одним из известных методов. Однако такой способ является трудоемким, поскольку ведет к необходимости решения z штук систем, где

z=w(B_1) \dots w(B_n)=\Pi_{i=1}^nw(B_i)

Доказываемая ниже теорема позволяет значительно уменьшить трудоемкость нахождения всех решений системы (20.3).

Предварительно введем следующие обозначения:

\{e_k\}=
\begin {cases}
0, если i \ne k,
1, если i=k
\end {cases},
k=\overline {1,0}; i=\overline {1,n} ;\\
\underline B=[\underline B_1, \underline B_2, \dots \underline B_n]',

где

\underline B_i=\alpha_i, \alpha_i \in B_i, \forall \beta_i \in B_i (\alpha  \le \beta), i=\overline {1,n}

Теорема 20.1. Пусть (\xi_1, \dots, \xi_n)' есть решение системы

A \xi=\underline B ( 20.4)

а (\delta_1^{(k)}, \dots, \delta_n^{(k)})' есть решения n штук систем

Ax=e_k, k=\overline {1,n} ( 20.5)

Тогда решение x=(x_1, \dots, x_n') системы (20.3) имеет вид

x_j=\xi_j + \sum_{k=1}^n m_k \delta_j^{(k)}, j=\overline {1,n} ( 20.6)

где \underline B_k+m_k \in B_k т. е. m_k пробегают независимо все значения от 0 до p -1, при этом из них точно w(B_k)

Доказательство. Рассмотрим i -ю строку системы (20.3):

(Ax)_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j=\sum_{j=1}^n a_{ij} \left ( \xi_j +\sum_{k=1}^n m_k \delta_j^{(k)} \right )= \sum_{j=1}^n  \left (a_{ij} \xi_j+ \sum_{k=1}^n m_k \delta_j^{(k)} \right )\\
=\sum_{j=1}^n a_{ij} \xi_j+\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n m_k \delta_j^{(k)}= \underline B_i +\sum_{k=1}^n m_k \sum_{j=1}^n a_{ij}\delta_j^{(k)}= \underline B_1+m_i,

поскольку

\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\delta_j^{(k)}=
\begin {cases}
0, если  i \ne k,\\
1, если i=k
\end {cases}

Таким образом, (Ax)_i=\underline B_i +m_i, a \underline B_i+m_i \in B_i, следовательно, (Ax)_i=B_i, откуда и вытекает справедливость теоремы.

Из этой теоремы следует, что в действительности для построения всех решений системы (20.3) необходимо решить только (n+1) систему линейных уравнений, а не w(B_1) \dots w(B_n) систем, как это было в тривиальном способе.

В качестве примера рассмотрим применение этого метода для решения СЛАУ с точной матрицей и интервальной правой частью.

< Лекция 19 || Лекция 20: 123 || Лекция 21 >
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига
Денис Свитач
Денис Свитач
Россия, Красноярск, Сибирский Государственный Аэрокосмический Университет, 2009