Опубликован: 17.02.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 346 / 26 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 25:24:00
ISBN: 978-5-9963-0268-0
Специальности: Математик
Лекция 19:

Интервальная арифметика над конечным полем и ее приложения к теории экспериментов с автоматами

< Лекция 18 || Лекция 19: 12 || Лекция 20 >
Аннотация: Описывается интервальная арифметика над полем GF(p). Вводятся понятия интервала, обобщенного интервала, правильного и неправильного интервалов, бинарные арифметические операции над интервалами и исследуются свойства этих операций. Рассматриваются вопросы решения интервальных уравнений. Вводятся понятия алгебраического, объединенного, допустимого и управляемого множества решений интервальных уравнений.

Об интервальном анализе

В интервальном анализе основным объектом исследования является интервал, представляющий собой замкнутый числовой промежуток. Так, интервал [a,b] содержит все вещественные числа, заключенные между границами интервала, включая и сами границы a и b. Когда говорят об интервальной неопределенности, подразумевают неполное знание о некоторой величине, т. е. невозможность указать ее точное значение, но возможность обозначить только границы ее изменения. Понятно, что ширина интервала есть мера неопределенности интересующей нас величины. Математическая теория, изучающая задачи с интервальными неопределенностями, получила название интервального анализа.

Ясно, что арифметические операции над величинами, имеющими интервальную неопределенность, будут давать результаты, также содержащие интервальную неопределенность.

Методы интервального анализа [4] [26], развитые к настоящему времени, базируются на использовании арифметических операций с вещественными и комплексными числами. Эти методы находят применение в различных сферах. Так, они оказались полезными при решении многих практических задач, использующих в качестве переменных величины с интервальной неопределенностью.

Заметим, что источниками неопределенностей различных величин могут быть разнообразные факторы. В частности, таким источниками могут быть ограниченность разрядной сетки компьютера, ошибки различных преобразований, к примеру, преобразований чисел из одной системы счисления в другую, неточности измерений значений величин из-за естественного несовершенства измерительных приборов и т. п.

Необходимо отметить, что интервальный анализ - это не единственная теория, которая оперирует с величинами, содержащими неопределенности. Так, с подобного рода величинами имеют дело теории, использующие их размытые (нечеткие) или вероятностные описания. В связи с этим возникает естественный вопрос: имеет ли интервальный анализ какие-либо достоинства, которые отсутствуют, например, у теории вероятностей или теории нечетких множеств, нечетких графов и т. д.? Надо сказать, что такие достоинства у интервального анализа имеются. В частности, одно из них состоит в более высоком уровне развития математического аппарата для исследований. Так, ни в теории нечетких множеств, ни в теории вероятностей пока не достигнут тот качественный уровень методов решения систем уравнений с неопределенностями, который имеет место для интервальных систем уравнений.

Отметим также еще одно достоинство интервального анализа. Ранее все модели неопределенности, используемые при оценке параметров и идентификации, имели главным образом стохастический или вероятностный характер, базируясь на известных распределениях рассматриваемых величин и т. п. К сожалению, на практике часто бывает совершенно недостаточно информации, чтобы считать неопределенные факторы подчиняющимися какой-либо вероятностной модели, либо эти факторы не удовлетворяют тем или иным условиям, которые на них налагает вероятностная модель неопределенности. К примеру, таковыми могут быть условия независимости величин или специальный вид их распределения. С этой точки зрения интервальные неопределенности являются наименее ограничительными и более адекватны многим практическим задачам.

Укажем еще одну сферу применения интервального анализа - вычисления с приближенными числами, обеспечивающие достаточно точный учет ошибок округлений. Хорошо известно, что все современные компьютеры оперируют с числами, представленными в форме с плавающей запятой. Однако, к сожалению, они не вполне адекватны не только реальному физическому миру, но и его математическим моделям. Недостатками чисел с плавающей запятой является отсутствие информации о точности тех величин, которые они представляют. Недостатком их является невозможность представить многие используемые вещественные величины в виде чисел с конечной длиной мантиссы. Наконец, еще одним недостатком является отсутствие адекватности между свойствами арифметических операций над числами с плавающей запятой и свойствами идеальных арифметических операций над вещественными числами из-за ошибок округления.

Из сказанного следует, что вычисления с плавающей запятой не позволяют отслеживать вычислительных ошибок и потому не дают возможности произвести анализ точности результатов. Последнее чревато серьезными негативными последствиями при принятии критических решений на основе полученных приближенных результатов.

Обратимся теперь к рассматриваемым нами в курсе лекций линейным автоматам, задаваемым над конечным полем GF(p) . С физической точки зрения значения напряжений для входных и выходных сигналов, а также напряжений, которые связаны с представлениями сигналов в элементах памяти электронных устройств, описываемых моделями линейных автоматов, можно измерять в квантованных (калибровочных) единицах. Поскольку по техническим условиям значения напряжений имеют ограничения сверху, предельное значение этого напряжения, выраженное в квантованных единицах, можно принять в качестве характеристики p поля GF(p) . Такое постулирование приводит к необходимости оперировать с квантованными значениями напряжений, т. е. к вычислениям в арифметике по модулю р.

Поскольку измерение значений входных и выходных сигналов из-за ограниченной точности измерительных приборов приводит к появлению интервалов, к которым принадлежат эти значения, возникает необходимость разработки фрагмента специфического интервального анализа. Основным объектом такого анализа является интервал с конечным числом элементов, границами которого являются элементы поля GF(p) . Заметим, что некоторые результаты такого анализа не имеют аналогов в интервальном анализе над вещественным полем R.

Отметим, наконец, что на первый взгляд конечность поля GF(p) должна была бы привести к упрощению соответствующей арифметики, однако на самом деле произошло ее усложнение, что будет видно из результатов, изложенных в следующем разделе этой лекции.

Рассмотренные в предыдущих лекциях синхронизирующие, установочные и диагностические эксперименты с линейными автоматами предполагали возможность получения в процессе их проведения точных значений реакций автоматов. Но, как уже упоминалось ранее, из-за несовершенства измерительных приборов более адекватным является предположение, что реакции автоматов представлены в интервальной форме. Понятно, что методы теории экспериментов, изложенные в предыдущих лекциях, не могут быть непосредственно применены для решения соответствующих задач в интервальной постановке. Однако их решение становится возможным с применением интервальной арифметики над полем GF(p) и специально разработанных для этих целей методов. В некоторых случаях такие методы являются аналогами "точных" методов, разработанных ранее, в иных же случаях "интервальные" методы таких аналогов не имеют. Таким образом, интервальная арифметика над конечным полем, о которой речь пойдет в следующем разделе этой лекции, нашла приложения в теории экспериментов с линейными автоматами в интервальной постановке.

Интервальная арифметика над полем GF(p)

Начнем с обозначений и основных определений. Строчные греческие буквы \alpha, \beta, \gamma, \dots, а также латинские с чертой снизу или сверху \underline a, \bar a, \underline b, \bar b, \dots будут далее обозначать элементы поля GF(p)=\{0,1,\dots , p-1\}, где p - простое число. Элемент этого поля представляет собой класс вычетов. Условимся далее считать, что каждый такой класс заменяется его представителем - наименьшим целым положительным числом, входящим в этот класс. На множестве классов вычетов определим отношения порядка (<, \le, \ge, >), которые естественным образом индуцируются соответствующими отношениями порядка на множестве целых чисел.

Подмножество \subseteq GF(p), такое, что a=[\underline a, \bar a]=\{\alpha \underline a \le \alpha \le \bar a; \underline a, \bar a \in GF(p)\} будем называть правильным замкнутым интервалом, где \underline a и \bar a - соответственно его нижняя и верхняя границы.

Запись вида b=[\underline b, \bar b], где \underline b > \bar b, будем интерпретировать как множество GF(p)\ [\bar b+1, \underline b-1] и называть это множество неправильным интервалом.

Интервал вида [\underline a, \bar a], где \underline a=\bar a, будем называть вырожденным и интерпретировать его как элемент поля GF(p) .

Множество всех интервалов над GF(p) обозначим через IGF(p), а латинские буквы зарезервируем для обозначения интервалов.

Исходя из интерпретации неправильного интервала [\underline b, \bar a] как множества "внешних" элементов GF(p) по отношению к правильному интервалу [\bar b+1, \underline b-1], любой неправильный интервал может быть представлен в следующем виде:

[\underline b, \bar b]=[0, \bar b]\bigcup [\underline b, p-1] ( 19.1)

Определение 19.1. Два интервала a=[\underline a, \bar a] и b=[\underline b, \bar b] называются равными (и записывается это как a=b ), если они равны в смысле теории множеств.

Из этого определения следует, что \underline a=\underline b & \bar a=\bar b \to a=b, но обратная импликация, в отличие от случая вещественных интервалов, места не имеет. Например, при p=5 интервалы [2,1] и [3,2] равны как множества, однако их границы не совпадают. Легко видеть, что для любого \alpha \in GF(p) справедливо равенство [\alpha, \alpha-1]=[0,p-1]

Очевидно, что отношение равенства в IGF(p) рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Введем операции над элементами IGF(p) . Далее знаками +, -, ., / будем обозначать соответствующие арифметические операции над вещественными числами, а знаками \oplus, \circleddash, \odot, \oslash операции над элементами поля GF(p) .

Определение 19.2. Пусть \circledast \in \{ \oplus, \circleddash, \odot, \oslash \} - бинарная арифметическая операция над элементами поля GF(p) . Если a,b \in IGF(p), то

a \circledast b=\{\xi=\alpha \circledast \beta / \alpha \in \beta, \beta \in b\} ( 19.2)

определяет бинарную арифметическую операцию над IGF(p) . (В случае деления предполагаем, что 0 \notin b.)

Очевидно, что операции сложения и умножения элементов IGF(p) коммутативны.

Если интерпретировать поле GF(p) как точки числовой оси, то каждый правильный интервал [\underline a, \bar a] - это множество точек, расположенных вплотную одна за другой между \underline a и \bar a.

Отметим, что результатом операции над интервалом может оказаться множество точек, не являющихся одним интервалом, а представляющее собой объединение нескольких интервалов, разбросанных по числовой оси. Например, для p=7, [1,2]*[2,3]=[2,4]\bigsup [6,6].

Введем еще одно понятие. Подмножество A \subseteq GF(p), такое, что

a=Y_{i \in I}a_i ( 19.3)

где a_i \in IGF(p), I - конечное множество индексов и для I \ne j, a_i \bigcup a_j=\varnothing, назовем обобщенным интервалом поля GF(p).

Обобщенный интервал будем обозначать строчной буквой. Понятно, что интервал из IGF(p) есть частный случай обобщенного интервала. За множеством всех обобщенных интервалов сохраним обозначение IGF(p) , поскольку из контекста каждый раз ясно, какой именно интервал имеется в виду в конкретном случае.

Введем бинарные операции над обобщенными интервалами.

Определение 19.3. Пусть *\in \{+,-,\cdot, \ \} - бинарная операция. Если

A=Y_{i \in I}a_i, B=Y_{j \in J}b_j,

где a_i, b_j - обычные интервалы поля GF(p) , то

A*B=(Y_{i\in I}a_i)*(Y_{j\in J}b_i)=Y_{i\in I, j\in J}a_i*b_j
< Лекция 18 || Лекция 19: 12 || Лекция 20 >
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига
Денис Свитач
Денис Свитач
Россия, Красноярск, Сибирский Государственный Аэрокосмический Университет, 2009