Интервальная арифметика над конечным полем и ее приложения к теории экспериментов с автоматами
Об интервальном анализе
В интервальном анализе основным объектом исследования является интервал, представляющий собой замкнутый числовой промежуток. Так, интервал содержит все вещественные числа, заключенные между границами интервала, включая и сами границы и . Когда говорят об интервальной неопределенности, подразумевают неполное знание о некоторой величине, т. е. невозможность указать ее точное значение, но возможность обозначить только границы ее изменения. Понятно, что ширина интервала есть мера неопределенности интересующей нас величины. Математическая теория, изучающая задачи с интервальными неопределенностями, получила название интервального анализа.
Ясно, что арифметические операции над величинами, имеющими интервальную неопределенность, будут давать результаты, также содержащие интервальную неопределенность.
Методы интервального анализа [4] [26], развитые к настоящему времени, базируются на использовании арифметических операций с вещественными и комплексными числами. Эти методы находят применение в различных сферах. Так, они оказались полезными при решении многих практических задач, использующих в качестве переменных величины с интервальной неопределенностью.
Заметим, что источниками неопределенностей различных величин могут быть разнообразные факторы. В частности, таким источниками могут быть ограниченность разрядной сетки компьютера, ошибки различных преобразований, к примеру, преобразований чисел из одной системы счисления в другую, неточности измерений значений величин из-за естественного несовершенства измерительных приборов и т. п.
Необходимо отметить, что интервальный анализ - это не единственная теория, которая оперирует с величинами, содержащими неопределенности. Так, с подобного рода величинами имеют дело теории, использующие их размытые (нечеткие) или вероятностные описания. В связи с этим возникает естественный вопрос: имеет ли интервальный анализ какие-либо достоинства, которые отсутствуют, например, у теории вероятностей или теории нечетких множеств, нечетких графов и т. д.? Надо сказать, что такие достоинства у интервального анализа имеются. В частности, одно из них состоит в более высоком уровне развития математического аппарата для исследований. Так, ни в теории нечетких множеств, ни в теории вероятностей пока не достигнут тот качественный уровень методов решения систем уравнений с неопределенностями, который имеет место для интервальных систем уравнений.
Отметим также еще одно достоинство интервального анализа. Ранее все модели неопределенности, используемые при оценке параметров и идентификации, имели главным образом стохастический или вероятностный характер, базируясь на известных распределениях рассматриваемых величин и т. п. К сожалению, на практике часто бывает совершенно недостаточно информации, чтобы считать неопределенные факторы подчиняющимися какой-либо вероятностной модели, либо эти факторы не удовлетворяют тем или иным условиям, которые на них налагает вероятностная модель неопределенности. К примеру, таковыми могут быть условия независимости величин или специальный вид их распределения. С этой точки зрения интервальные неопределенности являются наименее ограничительными и более адекватны многим практическим задачам.
Укажем еще одну сферу применения интервального анализа - вычисления с приближенными числами, обеспечивающие достаточно точный учет ошибок округлений. Хорошо известно, что все современные компьютеры оперируют с числами, представленными в форме с плавающей запятой. Однако, к сожалению, они не вполне адекватны не только реальному физическому миру, но и его математическим моделям. Недостатками чисел с плавающей запятой является отсутствие информации о точности тех величин, которые они представляют. Недостатком их является невозможность представить многие используемые вещественные величины в виде чисел с конечной длиной мантиссы. Наконец, еще одним недостатком является отсутствие адекватности между свойствами арифметических операций над числами с плавающей запятой и свойствами идеальных арифметических операций над вещественными числами из-за ошибок округления.
Из сказанного следует, что вычисления с плавающей запятой не позволяют отслеживать вычислительных ошибок и потому не дают возможности произвести анализ точности результатов. Последнее чревато серьезными негативными последствиями при принятии критических решений на основе полученных приближенных результатов.
Обратимся теперь к рассматриваемым нами в курсе лекций линейным автоматам, задаваемым над конечным полем . С физической точки зрения значения напряжений для входных и выходных сигналов, а также напряжений, которые связаны с представлениями сигналов в элементах памяти электронных устройств, описываемых моделями линейных автоматов, можно измерять в квантованных (калибровочных) единицах. Поскольку по техническим условиям значения напряжений имеют ограничения сверху, предельное значение этого напряжения, выраженное в квантованных единицах, можно принять в качестве характеристики p поля . Такое постулирование приводит к необходимости оперировать с квантованными значениями напряжений, т. е. к вычислениям в арифметике по модулю р.
Поскольку измерение значений входных и выходных сигналов из-за ограниченной точности измерительных приборов приводит к появлению интервалов, к которым принадлежат эти значения, возникает необходимость разработки фрагмента специфического интервального анализа. Основным объектом такого анализа является интервал с конечным числом элементов, границами которого являются элементы поля . Заметим, что некоторые результаты такого анализа не имеют аналогов в интервальном анализе над вещественным полем .
Отметим, наконец, что на первый взгляд конечность поля должна была бы привести к упрощению соответствующей арифметики, однако на самом деле произошло ее усложнение, что будет видно из результатов, изложенных в следующем разделе этой лекции.
Рассмотренные в предыдущих лекциях синхронизирующие, установочные и диагностические эксперименты с линейными автоматами предполагали возможность получения в процессе их проведения точных значений реакций автоматов. Но, как уже упоминалось ранее, из-за несовершенства измерительных приборов более адекватным является предположение, что реакции автоматов представлены в интервальной форме. Понятно, что методы теории экспериментов, изложенные в предыдущих лекциях, не могут быть непосредственно применены для решения соответствующих задач в интервальной постановке. Однако их решение становится возможным с применением интервальной арифметики над полем и специально разработанных для этих целей методов. В некоторых случаях такие методы являются аналогами "точных" методов, разработанных ранее, в иных же случаях "интервальные" методы таких аналогов не имеют. Таким образом, интервальная арифметика над конечным полем, о которой речь пойдет в следующем разделе этой лекции, нашла приложения в теории экспериментов с линейными автоматами в интервальной постановке.
Интервальная арифметика над полем GF(p)
Начнем с обозначений и основных определений. Строчные греческие буквы , а также латинские с чертой снизу или сверху будут далее обозначать элементы поля , где - простое число. Элемент этого поля представляет собой класс вычетов. Условимся далее считать, что каждый такой класс заменяется его представителем - наименьшим целым положительным числом, входящим в этот класс. На множестве классов вычетов определим отношения порядка , которые естественным образом индуцируются соответствующими отношениями порядка на множестве целых чисел.
Подмножество , такое, что будем называть правильным замкнутым интервалом, где и - соответственно его нижняя и верхняя границы.
Запись вида , где , будем интерпретировать как множество и называть это множество неправильным интервалом.
Интервал вида , где , будем называть вырожденным и интерпретировать его как элемент поля .
Множество всех интервалов над обозначим через , а латинские буквы зарезервируем для обозначения интервалов.
Исходя из интерпретации неправильного интервала как множества "внешних" элементов по отношению к правильному интервалу , любой неправильный интервал может быть представлен в следующем виде:
( 19.1) |
Определение 19.1. Два интервала и называются равными (и записывается это как ), если они равны в смысле теории множеств.
Из этого определения следует, что , но обратная импликация, в отличие от случая вещественных интервалов, места не имеет. Например, при интервалы [2,1] и [3,2] равны как множества, однако их границы не совпадают. Легко видеть, что для любого справедливо равенство
Очевидно, что отношение равенства в рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Введем операции над элементами . Далее знаками +, -, ., / будем обозначать соответствующие арифметические операции над вещественными числами, а знаками операции над элементами поля .
Определение 19.2. Пусть - бинарная арифметическая операция над элементами поля . Если , то
( 19.2) |
определяет бинарную арифметическую операцию над . (В случае деления предполагаем, что .)
Очевидно, что операции сложения и умножения элементов коммутативны.
Если интерпретировать поле как точки числовой оси, то каждый правильный интервал - это множество точек, расположенных вплотную одна за другой между и .
Отметим, что результатом операции над интервалом может оказаться множество точек, не являющихся одним интервалом, а представляющее собой объединение нескольких интервалов, разбросанных по числовой оси. Например, для .
Введем еще одно понятие. Подмножество , такое, что
( 19.3) |
где - конечное множество индексов и для , назовем обобщенным интервалом поля .
Обобщенный интервал будем обозначать строчной буквой. Понятно, что интервал из есть частный случай обобщенного интервала. За множеством всех обобщенных интервалов сохраним обозначение , поскольку из контекста каждый раз ясно, какой именно интервал имеется в виду в конкретном случае.
Введем бинарные операции над обобщенными интервалами.
Определение 19.3. Пусть - бинарная операция. Если
где - обычные интервалы поля , то