Опубликован: 17.02.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 346 / 26 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 25:24:00
ISBN: 978-5-9963-0268-0
Специальности: Математик
Лекция 4:

Обобщенные автоматы без потери информации конечного порядка

< Лекция 3 || Лекция 4 || Лекция 5 >
Аннотация: Определен новый класс автоматов без потери информации конечного порядка, названных обобщенными автоматами БПИК. Приводится критерий принадлежности автомата классу БПИК в терминах проверочного графа. Описан способ определения порядка БПИК-автомата. Описан метод построения комбинационной схемы, восстанавливающей проекцию неизвестного входного слова.

Автоматы без потери информации конечного порядка (ОБПИК-автоматы) являются в некотором смысле аналогами БПИК-автоматов, введенных С. Ивеном [74].

В этом разделе нами используется в качестве математической модели дискретного устройства слабоинициальный автомат Мили со структурированными входными и выходными алфавитами. Условимся также применять далее те же обозначения, понятия и конструкции, что были введены в предшествующем разделе.

Для однозначности определения числа N(A) будем считать, что оно является минимальным из всех возможных для заданного автомата A чисел такого рода, и назовем его порядком автомата A.

Отметим, что определенные нами ОБПИК-автоматы в качестве частного случая включают в себя ранее известные БПИК-автоматы, введенные C. Ивеном [74] , и автоматы существенно без потери информации конечного порядка (СБПИК-автоматы), введенные автором представленного курса лекций в [9], [46]. БПИК-автоматы получаются при |S_0|=0, \nu = n, \mu = m, а СБПИК-автоматы получаются при S_0=S, \nu = n, \mu = m, где n - число входных каналов автомата.

Пусть \bar p = p_1 p_2 \dots p_a и \bar q=q_1q_2 \dots q_b - слова в структурированном алфавите X. Из определения ОБПИК-автомата порядка N(A) следует, что он должен обладать следующим свойством:

\forall_{s, t \in S_)} \forall_{\bar p, \bar q \in X*} d(\bar p)=d(\bar q)=N(A) & pr_{1, \dots, \mu} \lambda (s, \bar p)=pr_{1, \dots, \mu} \lambda (s, \bar q) \to pr_{1, \dots, \nu} \bar p=pr_{1, \dots, \nu} \bar q ( 4.1)

Здесь, не теряя общности, предполагается, что наблюдение реакции ведется по первым \mu выходным каналам с номерами 1,2, \dots, \mu, а неизвестное слово будет восстанавливаться по первым \nu входным каналам с номерами 1,2,\dots, \nu.

Теорема 4.1. Автомат A является ОБПИК-автоматом тогда и только тогда, когда в его проверочном графе T(A) все контуры и все пути, ведущие в эти контуры, не содержат выделенных дуг.

Необходимость. Пусть A есть ОБПИК-автомат порядка N(A). Покажем, что он одновременно является и ОБПИ-автоматом. Пусть на вход A подано неизвестное входное слово \bar {\nu}, такое, что pr_{1, \dots, \nu} \bar {\nu}=\nu_1 \nu_2 \dots \nu_{d(\nu)}, а реакция \bar w автомата A на это слово такова, что pr_{1, \dots, \mu} \bar w= w_1 w_2 \dots w_{d(\nu)}. Подадим на вход A произвольное слово \bar {\nu*} длины N(A) (пусть pr_{1, \dots, \nu} \bar {\nu*}=\nu_1* \dots \nu_{N(A)}* ), реакция на которое есть слово \bar w* (пусть pr_{1, \dots, \mu} \bar w*=w_1* \dots w_{N(A)}* ). Поскольку A есть ОБПИК-автомат порядка N(A), то по начальному отрезку проекции выходного слова w_1w_2 \dots w_{d(\nu)}w_1* \dots w_{N(A)}* длины N(A) можно определить 1-й символ \nu_1 неизвестного входного слова, аналогично по начальному отрезку длины N(A) слова w_2w_3 \dots w_{d(\nu)}w_1* \dots w_{N(A)}* - символ \nu_2 и, наконец, по начальному отрезку длины N(A) слова w_{d(\nu)}w_1* \dots w_{N(A)-1}* - символ \nu_{d(\nu)}. Таким образом, подача на вход автомата A произвольного слова длины N(A) является тем экспериментом, который всегда позволяет определить искомую проекцию неизвестного входного слова. Следовательно, A является ОБПИ-автоматом.

Предположим, что в T(A) имеется контур \{s_1, s_j\}\to \{s_{i_1}, s_{j_1}\} \to \dots \to \{s_{i_{t-1}}, s_{j_{t-1}}\} \to \{s_i, s_j\} длины t, первая дуга которого - выделенная. В силу теоремы 3.2 предшествующей лекции все вершины \{s_a, s_b\} этого контура таковы, что s_a \ne s_b. Обозначим через \bar p и \bar q входные слова, соответствующие проходу автомата A по состояниям контуров s_i, s_{i_1}, \dots, s_{i_{t-1}} и s_j, s_{j_1}, \dots, s_{j_{t-1}}. Поскольку 1-я дуга контура в T(A) является выделенной, то \bar p=p_1 \bar {\nu} и \bar q=q_1 \bar {\nu}, где p_1 \ne q_1. Если к автомату A, находящемуся в состоянии s_j или s_j, приложить входные слова вида p_1 \bar {\nu^{\gamma}} \bar {\nu*} и q_1 \bar {\nu^{\gamma}} \bar {\nu*}, где r - целое положительное число, \bar {\nu*} - некоторый начальный отрезок слова \bar {\nu}, \bar {\nu^{\gamma}} - r -кратное повторение слова \bar {\nu}, то понятно, что наблюдаемые проекции автомата в обоих случаях будут одинаковыми. Следовательно, по наблюдаемой реакции восстановить однозначно 1-й символ неизвестного входного слова невозможно. Поскольку сказанное справедливо для любого r и начального отрезка \bar {\nu*} любой длины, то упомянутая потеря информации будет иметь место для слов произвольной длины. Последний факт противоречит исходному предположению о том, что A является ОБПИК-автоматом.

Нетрудно убедиться, что аналогичная ситуация имеет место и в случае, когда в графе T(A) существует путь, ведущий в контур и начинающийся с выделенной дуги.

На этом завершается доказательство необходимости условий теоремы.

Достаточность. Пусть T(A) не содержит контуров и, следовательно, в нем имеются только пути конечной длины. Рассмотрим вначале случай, когда эти пути не содержат выделенных дуг. Покажем, что в этих предположениях однозначное восстановление проекции первого символа неизвестного входного слова длины N(A) возможно. Предположим противное: пусть в T(A) существует два пути

\{s_{i_1}, s_{j_1}\} \xrightarrow {x_1/y_1} \{s_{i_2}, s_{j_2}\} \to \dots \xrightarrow {x_{N(A)}/y{N(A)}} \{S_{i_{N(A)}}, S_{j_{N(A)}}\}

и

\{s_{k_1}, s_{l_1}\} \xrightarrow {\tilde {x_1}/y_1} \{s_{k_2}, s_{l_2}\} \to \dots \xrightarrow {x_{N(A)}/y_{N(A)}} \{S_{i_{N(A)+1}}, S_{j_{N(Q)+!}}\}

где x_1 \ne \tilde {x_1}. Очевидно, что если проекция реакции автомата A есть y_1y_2 \dots y_{N(A)}, то проекцию 1-го искомого символа восстановить однозначно невозможно. Однако в этом случае в T(A) должны существовать выделенные дуги \{s_{i_1}, s_{k_1}\}\xrightarrow {y_1} \{s_{i_2}, s_{k_2}\}, \{s_{i_1}, s_{l_1}\} \xrightarrow {y_1}\{s_{i_2}, s_{l_2}\} и т. д., что противоречит исходному предположению.

Теперь рассмотрим случай, когда в графе T(A) содержится путь \{s_{i_1}, s_{j_1}\} \to \{s_{i_2}, s_{j_2}\} \to \dots \{s_{i_a}, s_{j_a}\}, у которого 1-я дуга является выделенной. Отсутствие в вершине \{s_{i_a}, s_{i_b}\} исходящей дуги означает, что при любом входном сигнале реакции автомата A из состояний s_{i_a} и s_{j_a} различны. Но тогда по этой реакции идентифицируется истинное состояние автомата ( s_{i_a} или s_{j_a} ). Поскольку по теореме 3.2 предшествующей лекции для вершины \{s_{i_k}, s_{j_k}\} упомянутого выше пути s_{i_k} \ne s_{j_k} при k=2, \dots, a, то обратным ходом можно идентифицировать истинную последовательность сменяющихся состояний автомата A из двух возможных: s_{i_1}, \dots, s_{i_a} либо s_{j_1}, \dots, s_{j_a}. Отсюда вытекает, что проекция первого символа неизвестного входного слова восстанавливается однозначно.

Перейдем к рассмотрению случая, когда в графе T(A) имеются контуры. Доказательство для него проведем от противного. Пусть A не является ОБПИК-автоматом. В частности, в нем могут существовать два контура:

s_1 \xrightarrow {x_1/y_1} s_2 \xrightarrow {x_2/y_2} \dots \to s_k \xrightarrow {x_b/y_b} s_1

и

s_1* \xrightarrow {\hat {x_1}/y_1} s_2* \xrightarrow {x_2/y_2} \dots \to s_b* \xrightarrow {x_b/y_b} s_1*

где происходит потеря информации о первом входном символе, если x_1 \ne \hat {x_1}. Но тогда в графе T(A) существует контур \{s_1, s_1*\} \to \{s_2, s_2*\} \to \dots \to \{s_b, s_b*\} \to \{s_1, s_1*\}, у которого 1-я дуга является выделенной. Отсюда вытекает справедливость достаточности условий теоремы для контуров с выделенными дугами. По аналогии устанавливается справедливость условий теоремы и для случая путей с выделенными дугами, ведущими в контур. На этом завершается доказательство достаточности условий теоремы.

Следующее утверждение позволяет определить порядок ОБПИК-автомата .

Теорема 4.2. Если в проверочном графе T(A) ОБПИК-автомата A длина максимального пути, начальная дуга которого является выделенной, равна t, то порядок ОБПИК-автомата N(A)=t+1.

Доказательство. Пусть в T(A) существует путь, начинающийся в вершине \{s_i, s_j\} и заканчивающийся в \{s_k, s_l\}, 1-я дуга которого является выделенной. Наличие его означает существование у автомата A двух входных слов \bar {\nu_1} и \bar {\nu_2}, различающихся проекциями первых символов и обладающих следующим свойством:

\delta (s_i, \bar {\nu_1})=s_k & \delta (s_j, \bar {\nu_2})=s_l \to pr_{1, \dots, \mu} \lambda (s_i, \bar {\nu_1})=pr_{1, \dots, \mu} \lambda (s_i, \bar {\nu_1})=pr_{1, \dots, \mu} \lambda (s_j, \bar {\nu_2})

При распознавании проекции неизвестного входного слова автомата A мы не располагаем информацией об истинном его начальном состоянии. Если на вход автомата A будет подано одно из слов \bar {\nu_1} или \bar {\nu_2}, то мы не сможем определить и его истинное конечное состояние. В этой ситуации определение проекции 1-го символа входного слова по наблюдаемой реакции длины не более t символов невозможно. Это означает, что порядок автомата A заведомо больше t. Поскольку путь рассматриваемого вида максимален по длине, то из вершины \{s_k, s_l\} графа T(A) не может исходить ни одной дуги. Для автомата A этот факт интерпретируется следующим образом: если автомат A находится в одном из состояний s_k или s_l, то подача любого входного символа и наблюдение соответствующей реакции автомата позволяет всегда однозначно определить истинное начальное состояние из двух допустимых. Отсюда можно сделать вывод, что знание проекции реакции автомата на неизвестное входное слово длины t+1 всегда позволяет однозначно определить проекцию 1-го символа этого входного символа.

Докажем это утверждение от противного. Пусть существуют два различных входных слова \bar {\nu_1} \bar x и \bar {\nu_2} \bar x, где \bar {\nu_1} и \bar {\nu_2} - слова, упомянутые ранее, а \bar x - произвольный символ из X. Пре дположим, что автомат находится в состоянии s_i или s_j. Если на вход автомата A будет подано одно из слов \bar {\nu_1} \bar x или \bar {\nu_2} \bar x, то по проекции последнего выходного символа можно определить состояние, в котором автомат находился перед подачей символа \bar x. Неоднозначность определения проекции 1-го символа неизвестного входного слова в нашей ситуации означало бы, что \exists {\nu_1, \nu_2 \in X*} \delta (s_i, \bar {\nu_1})=\delta (s_j, \bar {\nu_2}) & pr_{1, \dots, \mu} \lambda (s, \bar {\nu_1})= pr_{1, \dots, \mu} \lambda (s, \bar {\nu_2}) \to pr_{1, \dots, \nu} \bar {\nu_1} \ne pr_{1, \dots, \nu} \bar {\nu_2}.

Тогда в соответствии с определением 3.1 состояния s_i и s_j образуют пару СПИ-состояний. Отсюда следует, что автомат A не может принадлежать классу ОБПИ-автоматов, а в силу теоремы 4.1 он не может принадлежать и классу СБПИК-автоматов. Последний факт противоречит нашему предположению.

Рассмотрим автомат, заданный графом на рис.4.1. Пусть его реакция наблюдается по 1-му и 2-му выходным каналам ( \mu =2 ), а проекция неизвестного входного слова должна восстанавливаться по 1-му каналу ( \nu =1 ). Пусть S_0=\{1,2,3\}, тогда проверочный граф для этого автомата изображен на рис.4.2. Легко проверить, что условия теоремы 4.1 для графа на рис.4.2 выполняются, следовательно, рассматриваемый автомат есть ОБПИК. Поскольку длины всех путей в графе T(A), начальные дуги которых являются выделенными, равны 1 (t=1), то порядок автомата N(A)=2.


Рис. 4.1.

Рис. 4.2.

В табл. 4.1 приведены все возможные реакции автомата на входные слова длины 2 и соответствующие им проекции 1-го символа неизвестного входного слова по 1-му входному каналу.

Таблица 4.1.
Реакция автомата по каналам 1 и 2 Проекция 1-го входного символа по каналу 1
y_1(t) y_2(t)y_1(t+1) y_2(t+1)

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 0 1

0

1

0

1

1

0

Рассмотрим вопрос о восстановлении проекции 1-го символа неизвестного входного слова. Из (4.1) следует, что каждой комбинации из N(A) символов, являющихся проекциями реакций автомата A по выходным каналам с номерами 1, \dots, \mu, однозначно соответствует искомая проекция 1-го символа неизвестного входного слова. В частности, такое соответствие для автомата на рис.4.1 задано табл. 4.1. Подобную таблицу будем интерпретировать далее как совокупность \nu таблиц истинности частичных булевых функций, где \nu - число каналов, по которым производится восстановление неизвестного входного слова. Строки первого столбца таблицы типа табл. 4.1 содержат двоичные наборы длины \mu * N(A) , на которых упомянутые булевы функции считаются заданными, а значение на соответствующем наборе i -й булевой функции полагается равным величине, стоящей в i -й позиции второго столбца таблицы, где i=\overline {1, \nu}.

Исходя из предложенной интерпретации, общая схема восстановления некоторой проекции неизвестного входного слова для ОБПИК-автомата порядка N(A) с использованием комбинационного устройства, реализующего совокупность \nu частичных булевых функций, изображена на рис.4.3. На этом рисунке D означает элемент единой задержки. На рис.4.4 изображена схема восстановления, которая построена на основе табл. 4.1 для автомата, представленного на рис.4.1.


Рис. 4.3.

Рис. 4.4.

По аналогии с оптимальными ОБПИ-автоматами, введенными в предыдущей лекции, рассмотрим ОБПИК-автоматы. Для их отыскания по графу автомата A построим проверочный граф T(A), предполагая, что наблюдение реакции ведется по всем m выходным, а восстановление - по всем n входным каналам. Используя T(A), найдем в нем все контуры и все пути, ведущие в эти контуры, образуем на этой основе множество \Gamma = \{\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_t\} всех входящих в них выделенных дуг. Если \Gamma =  \varnothing, то по теореме 4.1 автомат A есть ОБПИК и при \mu = m он будет таковым для любого \nu = \overline {1,n}. Если \Gamma \ne  \varnothing, то для каждого i=\overline {1,t} построим множество R_i* целых чисел, являющихся номерами входных каналов, в которых на дуге \gamma_i происходит потеря информации в смысле, определенном в предыдущем разделе. По аналогии с ОБПИ-автоматами можно утверждать, что A является ОБПИК для любого подмножества каналов из множества R=\{1,2,\dots, n\}\{R_1^* \cup \dots \cup R_t^*\} и R есть максимальное по мощности множество каналов, сохраняющее свойство ОБПИК.

Пусть M=\{1,2, \dots, \mu\}. Для j=\overline {1, \mu} строим проверочный граф T_{M\\{j\}}^R(A). Если он удовлетворяет условиям теоремы 4.1, то j -й канал является избыточным в смысле, определенном в предыдущей лекции. Пусть M*+\{j_1, j_2, \dots, j_s - множество номеров всех избыточных выходных каналов автомата A. Если M* =  \varnothing, то A_M^R является искомым оптимальным автоматом. При M* \ne  \varnothing рассмотрим всевозможные сочетания пар, троек и т. д. номеров каналов из M*. Обозначим S_{\lambda} множество, содержащее \lambda номеров из M*, где \lambda = \overline{2, |M*|}. Для каждого из множеств S_{\lambda} начиная с \lambda =2 строим проверочный граф T_{S_{\lambda}}^R(A). Если для всевозможных множеств S_{\lambda} при \lambda =2 соответствующие им проверочные графы удовлетворяют условиям теоремы 4.1, то увеличиваем \lambda на 1 и продолжаем этот процесс. Если на очередном этапе каждый из построенных для всевозможных множеств S_{\lambda} проверочных графов не удовлетворяет условиям теоремы 4.1, то процесс прекращается. При этом очевидно, что оптимальными будут все те автоматы A_{S_{\lambda}}^R, рассмотренные на предпоследнем этапе (для них \lambda имеет значение на 1 меньше, чем на последнем этапе), для которых соответствующие графы удовлетворяют условиям теоремы 4.1.

Вопросы и упражнения

  1. Сформулируйте определение обобщенного автомата без потери информации конечного порядка.
  2. Приведите критерий принадлежности автомата классу автоматов ОБПИК в терминах проверочного графа.
  3. Опишите процедуру определения порядка ОБПИК-автомата.
  4. Опишите процедуру построения комбинационной схемы, позволяющей восстанавливать проекцию неизвестного входного слова ОБПИК-автомата.
  5. Автомат задан графом на рис.4.1. Пусть множество допустимых начальных состояний автомата есть \{1,2,3\}. Пусть для наблюдения реакции доступны оба выходных канала, а проекция неизвестного входного слова должна быть восстановлена по 2-му каналу. Требуется:
    • построить проверочный граф этого автомата;
    • проверить критерий принадлежности этого автомата классу ОБПИК-автоматов;
    • если этот критерий выполняется, то определить порядок автомата.
< Лекция 3 || Лекция 4 || Лекция 5 >
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига
Денис Свитач
Денис Свитач
Россия, Красноярск, Сибирский Государственный Аэрокосмический Университет, 2009