Опубликован: 17.02.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 346 / 26 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 25:24:00
ISBN: 978-5-9963-0268-0
Специальности: Математик
Лекция 12:

Эксперименты в пространстве обобщенных состояний и с линейными автоматами с запаздыванием

< Лекция 11 || Лекция 12: 12 || Лекция 13 >
Аннотация: Введены понятия обобщенного состояния линейного автомата, обобщенных синхронизирующих, установочных и диагностических последовательностей. Для всех таких последовательностей сформулированы критерии их существования. Рассмотрены различные типы автоматов с запаздыванием (обыкновенные, по управлению, по состоянию), и для них получены критерии существования всех типов упомянутых выше последовательностей.

Эксперименты с линейными автоматами в пространстве обобщенных состояний

Наряду с традиционным понятием состояния ЛА \tilde A размерности n, представляющего собой n -мерный вектор, введем понятие обобщенного состояния. С этой целью зафиксируем некоторое целое положительное число \mu, такое, что 1 \le \mu n, и вектор-столбец

\tidle s (t)=\lbrack s_1(t), \dots, s_\mu, \underbrace{x, \dots,x}_{n-\mu раз}}\rbrack' ( 12.1)

где x - символ неопределенности, будем называть обобщенным состоянием (ОС) линейного автомата. Предполагается, что каждый символ неопределенности x может принимать любое значение из поля GF(p). Таким образом, каждому ОС линейного автомата соответствует некоторое подмножество S_n всех состояний ЛА. Далее через \tilde {S_{\mu}} будем обозначать пространство обобщенных состояний ЛА. Понятно, что число обобщенных состояний в \tilde {S_{\mu}} равно p^{\mu}.

Вообще говоря, обобщенное состояние ЛА можно определить иначе, например, положив

\tilde s(t)=[s_1(t), \dots, s_{i_1-1}(t), \dots, x, s_{i_1+1}(t), \dots, s_{i_{n- \mu -1}}(t_, x, s_{i_{n- \mu +1}}(t), \dots, s_n(t)]' ( 12.2)

где n- \mu штук значений координат s_{i_j}(t), j=1, \dots, \mu, номера которых выбраны произвольным образом, замещены символом неопределенности x. Легко показать, что путем подходящих перестановок строк и столбцов характеристических матриц линейный автомат \hat A всегда может быть преобразован в такой изоморфный ему ЛА \tilde A, у которого ОС (12.2) отображается при этом в ОС (12.1). Поэтому для простоты записи, но не теряя при этом общности, примем первый вариант (12.1) определения ОС.

Далее условимся о следующих обозначениях: если H есть матрица, то через [H]_a обозначим матрицу с a штук строками, совпадающими с первыми a строками матрицы H. Аналогичное обозначение используем и для вектора: [\bar s]_a - это вектор размерности a, у которого координаты совпадают с a первыми координатами вектора \bar s.

ЛА с заданной величиной \mu, определяющей для ЛА пространство обобщенных состояний, условимся обозначать как \mu -ЛА.

Введем для \mu -ЛА понятие обобщенной диаграммы переходов (ОДП). ОДП для \mu -ЛА над полем GF(p) назовем ориентированный граф, содержащий p^{\mu} вершин, взаимно однозначно соответствующих каждому ОС этого автомата. Две вершины \bar a и \bar b в ОДП соединяются дугой, ведущей из \bar a в \bar b, помеченной входным символом \bat u \mu -ЛА, если существуют по крайней мере два таких "традиционных" состояния \bar s и \tilde s из S_n, что [s]_{\mu}=\bar a, [s]_{\mu}=\bar b, \tilde s=A\bar s+B\bar u.

Отметим различие между "традиционной" диаграммой переходов ЛА [19] и ОДП: в "традиционной" диаграмме каждой ее дуге, помеченной входным символом \bar u, соответствует единственный выходной символ (реакция ЛА на вход \bar u в состоянии \bar s ), а в ОДП некоторой дуге может соответствовать несколько выходных символов. Назовем ОДП сильно связной, если в ней для любой пары вершин \bar a и \bar b существует путь, ведущий из \bar a в \bar b. Соответствующий этой ОДП \mu -ЛА будем называть \mu -сильно связным.

Понятно, что любому пути в ОДП из \bar a в \bar b соответствует некоторое входное слово \mu -ЛА, возможно не одно, переводящее его из ОС \bar a в ОС \bar b.

По аналогии с [19] \mu -ЛА назовем k -управляемым, если для любых двух его обобщенных состояний \bar a и \bar b существует входное слово длины k, переводящее его из \bar a в \bar b. Очевидно, что k -управляемый \mu -ЛА является \mu -сильно связным.

Теорема 12.1. \mu -ЛА является \mu -управляемым тогда и только тогда, когда ранг матрицы

[L_k]_{\mu}=[A^{k-1}B, A^{k-2}B, \dots, AB,B]_{\mu}

равен \mu.

Доказательство. Пусть [\bar s]_{\mu} и [\tilde s]_{\mu} - различные произвольные ОС рассматриваемого \mu -ЛА. По определению k -управляемости существует такая входная последовательность \bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(k-1) длины k, которая переводит \mu -ЛА из [\bar s]_{\mu} в [\tilde s]_{\mu}. Тогда на основании формулы (1.3) можно записать:

[\bar s]_{\mu}=[A^k \tilde s+A^{k-1}B\bar u(0)+\dots |AB\bar u(k-2)+B\bar u(k-1)]_{\mu}

Отсюда следует, что

[\bar s-A^k\tilde s]_{\mu}=[A^{k-1}B\bar u(0)+ \dots +AB\bar u(k-2)+b\bar u(k-1)]_{\mu}=\\
=[L_k[\bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(k-1)]']_{\mu}

Поскольку \bar s-A^k\tilde s может быть любым n -мерным вектором, [\bar s-A^k\tilde s]_{\mu} также может быть любым \mu -мерным вектором. В силу этого последнее равенство можно записать в виде

[L_k \hat u]_{\mu} ( 12.3)

где \hat u=[\bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(k-1)]', и интерпретировать его как СЛАУ относительно неизвестных, являющихся координатами вектора \hat u.

Понятно, что существование входной последовательности, переводящей \mu -ЛА из произвольного ОС [\tilde s]_{\mu} в произвольное ОС [\bar s]_{\mu}, эквивалентно существованию решений выписанной выше системы при любых правых частях. Из алгебры известно [33], что необходимым и достаточным условием для этого является равенство ранга системы (12.3) величине \mu. Заметим, что при \mu =n, где n - размерность ЛА, \mu -сильно связность совпадает с общепринятым понятием сильно связности ЛА. Очевидно, что если ЛА размерности n является сильно связным, то он будет \mu -сильно связным при любом \mu < n. Обратное, однако, в общем случае неверно. Действительно, рассмотрим ЛА над полем GF(2), заданный характеристическими матрицами

A=
\left [
\begin {matrix}
0&1&0\\
1&0&\\
0&0&1
\end {matrix}
\right ], 
B=
\left [
\begin {matrix}
0\\
1\\
1
\end {matrix}
\right ]

Путем вычислений можно убедиться, что

L_3=[A^2B,AB,B]=
\left [
\begin {matrix}
0&1&0\\
1&0&1\\
1&1&1
\end {matrix}
\right ]

и \rank L_3=2. Тогда по теореме 12.1 этот ЛА не является сильно связным.

Положим \mu =2, тогда

[L_3]_2=
\left [
\begin {matrix}
0&1&0\\
1&0&1
\end {matrix}
\right ]

и rank [L_3]_2=2. По теореме 12.1 рассматриваемый \mu -ЛА является 2-сильно связным. Таким образом, исходный ЛА не является сильно связным, однако в пространстве обобщенных состояний он становится 2-сильно связным.

Определим теперь понятие синхронизирующей последовательности для \mu -ЛА в пространстве обобщенных состояний.

Входную последовательность \bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(k) \mu -ЛА назовем обобщенной СП (ОСП), если

\forall \bar s, \tilde s \in \tilde {S_{\mu}}\ \ [A^{k+1}\bar S+A^kB\bar u(0)+ \dots +B\bar u(k)]_{\mu}=[A^{k+1}\tilde s +A^kB \bar u(0)+ \dots +B \bar u(k)]_{\mu} ( 12.4)

Понятно, что при \mu =n, где n - размерность ЛА, приведенное определение совпадает с определением обычной СП для этого же автомата. Перенося в (12.4) правую часть равенства влево и выполнив сокращения, получим

\forall \bar s, \tilde s \in S_{\mu}\ \ 
[A^{k+1}\bar s - A^k \tilde s)]_{\mu}=[0]_{\mu} ( 12.5)

где [0]=_{\mu} - нулевой вектор размерности \mu. Поскольку в (12.5) \bar s и \tilde s могут быть любыми ОС из \tilde S_{\mu}, то (12.5) эквивалентно

\forall \bar s \in S_n\ \ 
[A^{k+1}\bar s]_{\mu}=[0]_{\mu} ( 12.6)

Из предиката (12.6) вытекает справедливость следующего утверждения.

Теорема 12.2. Для того чтобы \mu -ЛА \tilde A имела ОСП длины k+1, необходимо и достаточно, чтобы

[A^{k+1}]_{\mu}=[0]_{\mu}

Как видим, эта теорема является аналогом теоремы 1.1 для обычного ЛА, т. е. ее естественным обобщением.

По аналогии с разделом 1.2 \mu -ЛА условимся называть обобщенно синхронизируемым, если для него существует ОСП.

Рассмотрим ЛА над полем GF(2), заданный следующими характеристическими матрицами:

A=
\left [
\begin {matrix}
0&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end {matrix}
\right ],
B=
\left [
\begin {matrix}
0\\
0\\
0
\end {matrix}
\right ]

Поскольку A \ne [0], то для этого ЛА, как это следует из теоремы 1.1, СП длины 1 не существует. Положим \mu =1 и рассмотрим соответствующий 1-ЛА. Понятно, что состояние этого автомата в момент времени t+1 не зависит от состояния в момент t, так как B есть нулевая матрица. Более того, для этого ЛА

s(t+1)=[0 s_2(t) s_2(t)]'

Из последнего равенства следует, что

[s(t+1)]_1=[0]_1

Последнее означает: любая входная последовательность длины 1 переводит 1-ЛА в одно и то же состояние [0]_1, т. е. любая такая последовательность является ОСП.

Таким образом, нами построен пример ЛА, не имеющего обычной СП некоторой фиксированной длины, но в то же время имеющего обобщенную СП такой длины.

Почти дословное повторение доказательства теоремы 1.2 позволяет установить справедливость ее аналога для \mu -ЛА.

Теорема 12.3. Если для \mu -ЛА существует хотя бы одна ОСП длины k, то обобщенными СП для него являются любые входные последовательности длины k и более.

По аналогии с обобщенными СП введем понятия обобщенных УП и ДП для \mu -ЛА \tilde A, полагая, что множеством его допустимых начальных состояний является множество, которое мы обозначим как \Init (\tilde A0.

Входную последовательность \bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(k) \mu -ЛА A назовем обобщенной УП (ОУП), если

\forall \bar s(0), \tilde s(0) \in Init(\tilde A) \wedge_{d=0}^k[CA^d\bar s(0)+CA^{d-1}B\bar u(0)+ \dots +CB \bar u(d-1)+D\bar u(d)=\\
= CA^d \tilde s(0)+CA^{d-1}B\bar u(0)+ \dots +CB\bar u(d-1)+D\bar u(d)] \to\\
\to [A^{k+1}\bar s(0)+A^kB\bar u(0)+ \dots +AB\bar u(k-1)+B\bar u(k)]_{\mu}=\\
=[A^{k+1}\tilde s(0)+A^kB\bar u(0)+ \dots +AB\bar u(k-1)+B\bar u(k)]_{\mu}

Входную последовательность \bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(k) \mu -ЛА \tilde A назовем обобщенной ДП (ОДП), если

\forall \bar s(0), \tilde s(0) \in Init (\tilde A) \wedge_{d=0}^k[CA^d\bar s(0)+CA^{d-1}B\bar u(0)+ \dots +CB\bar u(d-1)+D\bar u(d)=\\
=CA^d \tilde s())+CA^{d-1}B\bar u(0)+ \dots + CB\bar u(d-1)+D\bar u(d)] \to [\bar s(0)]_{\mu}=[\tilde s(0)]_{\mu}

Заметим, что содержательный смысл обобщенных УП и ДП тот же, что и обычных, но применительно к обобщенным состояниям. Ниже приводятся теоремы, которые содержат естественные обобщения результатов для обычных ЛА на ЛА, рассматриваемые в пространстве обобщенных состояний. Доказательства некоторых из этих утверждений опущены, поскольку могут быть получены за счет незначительного изменения уже приводившихся ранее доказательств.

Теорема 12.4. Для того чтобы \mu -ЛА имел обобщенную УП длины k+1, необходимо и достаточно, чтобы

\forall \bar s \in \hat {Init}(\tilde A) (\exists k \ge 0  CA^k\bar s \ne [0]) \vee (\exists k \ge 0 [A^{k+1}\bar s]_{\mu}=[0]_{\mu})

Здесь через \hat {\Init}(\tilde A) обозначено множество состояний, представляющее собой всевозможные разности состояний из множества \Init (\tilde A).

Теорема 12.5. Если у \mu -ЛА \tilde A размерности n ранг характеристической матрицы C равен n, то для него существует обобщенная УП длины 1.

Доказательство. Пусть \bar s и \tilde s - два различных начальных состояния \mu -ЛА A из множества допустимых. Через \bar y(0) и \tilde y(0) обозначим реакции этого автомата на входной символ \bar u(0). Пусть [\bar {s_k}]_{\mu} и [\tilde {s_k}]_{\mu} - состояния \mu -ЛА после подачи \bar u(0). Если \bar u(0) - обобщенная УП, то это означает, что

\forall \bar s, \tilde s \in \Init (\tilde A)  \bar y(0)=\tilde y(0) \to [\bar {s_k}]_{\mu}=[\bar {s_k}]_{\mu}

Предположим, что \bar u(0) не является обобщенной УП, тогда

\exists \bar s, \tilde s \in \Init (\tilde A) \bar y(0)=\tilde y(0) \wedge [\bar {s_k}]_{\mu} \ne [\bar {s_k}]_{\mu}

что эквивалентно

\exists \bar s, \tilde s \in \Init (\tilde A) C(\bar s - \tilde s)=[0] \wedge [\bar {s_k}]_{\mu} \ne [\bar {s_k}]_{\mu} ( 12.7)

Первый сомножитель в (12.7) можно интерпретировать как систему линейных однородных уравнений относительно n неизвестных, являющихся координатами вектор-состояния. Эта система должна иметь ненулевое решение, поскольку по предположению \bar s \ne \tilde s. Из алгебры известно, что необходимым и достаточным условием для этого является выполнение неравенства

\rank C < n

что противоречит условию теоремы. Отсюда следует ложность предиката (12.7) и, следовательно, справедливость теоремы.

Теорема 12.6. Если для \mu -ЛА размерности n существует хотя бы одна обобщенная УП длины k, то для этого автомата обобщенными УП являются любые входные последовательности длины k и более.

Введем следующие обозначения: через K_t^{\mu} и K_t^{(\mu)} соответственно обозначим подматрицы матрицы

K_t=[C, CA, \dots, CA^{t-1}]'

содержащие первые и соответственно последние \mu ее столбцов.

Теорема 12.7. Для того чтобы \mu -ЛА A размерности n имел обобщенную ДП длины t, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы K_t^{\mu} был равен \mu и K_t^{(\mu)}=[0].

Эта теорема является естественным обобщением теоремы 1.7. Два последующих утверждения являются аналогами теорем 1.8 и 1.9.

Теорема 12.8. Если для \mu -ЛА существует хотя бы одна обобщенная ДП длины k, то для него обобщенными являются любые входные последовательности длины k и более.

Теорема 12.9. Если для \mu -ЛА размерности n существуют обобщенные ДП, то длина таких минимальных последовательностей не превосходит n.

Заметим, что аналоги последней теоремы справедливы как для обобщенных СП, так и для обобщенных УП.

< Лекция 11 || Лекция 12: 12 || Лекция 13 >
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига
Денис Свитач
Денис Свитач
Россия, Красноярск, Сибирский Государственный Аэрокосмический Университет, 2009